8. Уравнения Эйлера.
Для установления дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости под действием внешних сил, мы будем исходить изосновных законов динамики.
Внешние силы суть силы объемные или массовые, т. е. пропорциональные массам рассматриваемых элементов жидкости. Силу, отнесенную к единице массы, мы обозначим через 
а составляющие ее по осям координат — через 
Кроме них, на каждую частицу действует в качестве поверхностной силы давление жидкости; величину этой силы на единицу поверхности мы обозначим через 
Нам нужно составить равнодействующую сил давления на всю поверхность частицы и найти ее составляющие по осям. Значения их, отнесенные к единице объема, будут
а отнесенные к единице массы
На границу жидкости вместо давления жидкости 
действует извне нормальное к границе внешнее давление 
равное 
это условие выполняется как для свободной и подвижной поверхности, так и для твердой стенки.
Обозначая черев 
проекции ускорения на координатные оси, мы получаем уравнения движения
или, в векторной форме
В этом выводе введение понятия ускорения связано с некоторым принципиальным затруднением. В самом деле, об ускорении элемента жидкости можно говорить разве только в смысле его среднего вначения, и лишь в том случае, когда масса элемента жидкости стремится к нулю, ускорение его будет приближаться к определенному пределу. Поэтому, в методическом отношении предпочтителен несколько иной вывод уравнений движения. Составим для любой (конечной) части жидкости равнодействующую всех действующих на нее объемных и поверхностных сил и положим ее равной производной по времени от количества движения жидкости
Припимая во внимание, что дифференцирование в левой части, внесенное под интеграл, относится только к скорости (так как масса частиц 
остается при движении неизменной), и преобразуя второй член правой, части с помощью формулы Гаусса в объемный интеграл, мы. получаем уравнение (25а).
Производные 
в уравнениях (25) суть отношения изменения скоростей данной движущейся частицы к промежутку времени 
Они являются, таким образом, субстанциальными производными.
Субстанциальное изменение некоторой величины 
связанной с движущейся частицей, слагается из двух частей. Первая часть есть локальное изменение 
величина 
получила бы его и в том случае, если бы частицы не меняли своего положения (для стационарного движения локальное изменение обращается в нуль). Вторая часть есть конвекционное изменение
Оно вызывается движением частицы и не исчезает также и при стационарном движении. Субстанциальное изменение величины 
равно, следовательно,
или
Таким образом, уравнения движения принимают вид:
или
Эта форма уравнений движения носит наввание уравнений Эйлера. Уравнения Эйлера описывают поле тока и его изменение, но ничего не говорят о движении отдельных частиц.
С помощью известного преобразования можно привести уравнения Эйлера к виду
очень удобному для изучения безвихревых движений, при которых в нем пропадает член, содержащий 
При стационарном течении и консервативных внешних силах уравнения Эйлера упрощаются и принимают вид:
где 
есть потенциал внешних сил, отнесенных К единице массы.
