ГЛАВА II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
§ 1. Уравнения движения в прямоугольных координатах
1. Свободная материальная точка.
Пусть 
прямоугольные координаты материальной точки массы 
по отношению к какой-либо инерциальной системе, а 
- соответствующие составляющие действующей на нее силы, которые зависят от положения и скорости материальной точки относительно инерциальной системы. Тогда 
представляют собой заданные функции от 
где, как обычно, точки означают производные по времени 
По законам движения Ньютона дифференциальные уравнения движения будут:
Это — три дифференциальные уравнения второго порядка для определения трех неизвестных величин х, у, z как функций времени 
Из теорем существования, доказательство которых можно найти во всяком большом курсе анализа, следует, что для любого значения 
"начальной точки" 
шкалы времени, можно произвольно задать значения 
"начальное состояние", причем уравнения (1) будут иметь регулярное решение, принимающее при 
наперед заданное значение, если только для выбранного начального состояния правые части уравнений (1), т. е. 
регулярны. Следовательно, общее решение зависит от шести произвольных постоянных. Если рассматривать все шесть величин 
как неизвестные функции, то можно заменить уравнения (1) системой шести дифференциальных уравнений первого порядка, именно:
В качестве простейшего примера мы рассмотрим движение в поле тяжести. Направим ось х горизонтально, ось у вертикально вверх и обозначим через 
ускорение силы тяжести, которое мы можем считать постоянным, если ограничиваться достаточно малой областью пространства. Тогда 
и уравнения (1) принимают вид:
откуда после интегрировлния получаем:
где 
произвольные постоянные. Выберем начальное состояние так, что в момент 
материальная точка находится в начале координат, начальная скорость 
лежит в плоскости 
и направление ее составляет с положительным направлением оси х "угол бросания" а, отсчитываемый вверх. Тогда при 
мы должны иметь:
и из (4) следует:
поэтому в качестве окончательного решения мы получаем известные формулы для движения в безвоздушном пространстве тела, брошенного под некоторым углом к горизонту:
