3. Принцип минимума для напряжений.

Принцип минимума потенциальной энергии выражает характерное свойство упругих деформаций в случае равновесия. Так называемый принцип Кастильяно, к которому мы сейчас перейдем, выражает некоторое минимальное свойство систем напряжений, получающихся при равновесии. Для вывода этого принципа мы будем исходить из выражения для работы деформации (энергии деформации тела), которую мы выразим теперь как функцию от напряжений:

Изменим теперь напряжения, которые в действительности имеются при равновесии, и вычислим работу деформации при измененных напряжениях. При этом мы будем требовать, чобы и измененные напряжения удовлетворяли условиям равновесия внутри и на границе тела. Объемные и поверхностные силы, как величины, заранее заданные, при этом. будут, конечно, оставаться неизменными. Так как, но условию, исходные и измененные напряжения удовлетворяют условиям равновесия, будем иметь: внутри тела

на поверхности:

Отсюда видно, что изменения напряжений должны удовлетворять условиям: внутри тела

а на поверхности:

Последние условия должны выполняться только там, где заданы поверхностные напряжения. В тех точках поверхности, где заданы смещения, напряжения могут варьироваться.

Работа деформации для измененной системы напряжений равна:

Первый интеграл есть работа деформации А, соответствующая действительно существующим напряжениям. Последний есть работа деформации, которая получилась бы, если к телу приложить только изменения напряжений. Она всегда заведомо положительна и в дальнейшем мы ее кратко обозначим "полож". Средний из интегралов мы предварительно преобразуем. По формулам (7)

и следовательно

или, в векторной форме:

Но так как

то

По условию (15) интегрирование можно производить только по той части поверхности, где заданы смещения. Для работы деформации получаем, таким образом:

где интеграл в правой части распространяется только на те части поверхности, на которых заданы смещения. Так как последние не варьируются, то можем написать:

это и есть "принцип Кастильяно".

Из всех систем напряжений, находящихся в равновесии с заданными объемными и поверхностными силами, осуществляются в действительности те, для которых выражение:

есть минимум. Поверхностный интеграл распространен здесь по той части поверхности, на которой заданы смещения.