§ 4. Точные решении уравнений движения вязкой иесжииаеиой жидкости

В предыдущих параграфах мы познакомились с некоторыми решениями уравнений движения, приближенно верными только для медленного движения. Только описанное в § 1, 2 пуазейлевское ламинарное движение остается верным при больших скоростях. Чтобы найти другие строгие решения, Гамель (G. Hamel) поставил себе вопрос: могут ли в случае вязкой жидкости существовать плоские движения, для которых линии тока были бы такими же, как в случае потенциального движения [ср. гл. X § 3)], а распределение скоростей было бы иным?

1. Функция тока.

В силу уравнения неразрывности плоский поток всегда можно представить с помощью функции тока следующим образом

Если подставить это в уравнение (6), § 1, мы получим:

Исключив отсюда путем дифференцирования, мы будем иметь

В этом единственном уравнении соединены таким образом все три уравнения движения плоского потока [уравнения (6) и (7) § 1]. Для потенциальных потоков (т. е. безвихревых движений) так что потенциальные движения удовлетворяют уравнению (2). Однако, этот факт имеет мало значения, так как вязкие жидкости прилипают к твердым стенкам, а из теории функций известно, что потенциального движения с этим свойством существовать не может.

Поставленный Гамелем вопрос можно теперь формулировать так: существуют ли такие решения уравнения (2), для которых

тогда как не равно нулю? В самом деле, линии тока задаются уравнением: функция тока Если рассматривать как функцию тока некоторого потенциального движения, то обе системы линий тока должны, согласно уравнению (3), совпадать.

Мы ограничимся, как мы уже говорили, стационарным движением, и будем поэтому иметь Непосредственная подстановка (3) в (2) дает:

Здесь положено

2. Введение комплексных переменных.

В силу уравнения (3), выражение

есть гналитическая функция переменной Значение

не зависит от того, выбрано ли приращение вещественным, или чисто мнимым, или комплексным. Очевидно, что величина имеет производную о такими же свойствами, а потому сама есть аналитическая функция. То же самое верно и для функции

Если мы обозначим через соответственно вещественную и мнимую часть втой функции, то мы получим

Так как линии тока задаются уравнением то их форма не меняется, если заменить на где с постоянная. При такой замене мы получим вместо Мы можем, следовательно, разделить на произвольную постоянную. Так как имеет производную с указанными выше свойствами, то величина

должна также быть аналитической функцией от а значит, мы будем иметь:

Таким образом, оказывается С помощью этого уравнения и выражения для мы можем написать уравнение (4) следующим образом:

3. Траектории.

Можно показать, что это дифференциальное уравнение имеет интеграл, зависящий от одного тогда и только тогда, когда постоянны. Из приведенного выше определения a и b следует после интегрирования:

Если теперь будет гармоническая функция, сопряженная с (в смысле условий то

и, следовательно,

Если ввести полярные координаты посредством уравнений

то

Поэтому вещественная часть нашего уравнения будет

Уравнения линий тока, т. е. траекторий частиц жидкости, задаются, согласно сказанному в 1, уравнением Они будут поэтому логарифмическими ралями

Случай соответствует чисто радиальному потоку, случай движению во концентрическим кругам.

4. Распределение скоростей.

Из уравнений (1), (3-) и (7) мы найдем для радиальной составляющей скорости выражения:

к для составляющей, касательной к кругу:

Для определения функции служит уравнение (6). Однократное интегрирование этого уравнения дает, если положить

Это уравнение легко решить в обоих упомянутых выше предельных случаях В случае чисто радиального потока, т. е. когда уравнение можно проинтегрировать еще один раз после умножения на Мы получим

где новые постоянные. Как было замечено в 2, величины он можно разделить на любую постоянную. Поэтому мы можем положить тогда уравнение (7) даст мы получим

Если ввести здесь новые переменные

и

то это уравнение примет вид

где новые постоянные. Но это есть дифференциальное уравнение для эллиптической функции в нормальной форме Вейерштрасса. Поэтому радиальная составляющая скорости будет равна

а круговая составляющая, как сказано, равна нулю.

Когда поток ограничен о боков двумя плоскими стенками то дальнейшее исследование уравнения (8) иди (9) дает следующее. В качестве характеристического параметра (числа Рейнольса) мы можем ввести число При малых мы получаем распределение скоростей, подобное известному параболическому распределению (§ 1, 2) между двумя параллельными плоскими стенками. При больших значениях мы должны различать два случая: сходящуюся насадку (поток со стоком) и расходящуюся насадку (поток с источником).

Первый случай будет подробнее исследован в § 5, 4. В большей части угла получается приближение к чистому потоку со стоком, почти как если бы никаких стенок не было. В этой области скорость вытекания почти не зависит, таким образом, от Вплотную около стенок находится вихревой граничный слой, в котором скорость быстро уменьшается до значения нуль на стенках.

Во втором случае распределение скоростей отклоняется от параболического в обратном направлении Когда параметр растет, протекающая жидкость концентрируется в середине. При еще больших чистый поток с источником делается невозможным. Вместо него возникает с одной или с обеих сторон область с обратным током. Истечение концентрируется в струе, которая либо хлещет в середине, либо прилегает к одной из стенок. При еще больших значениях параметра существует еще больше возможных областей с противоположными направлениями потока и поэтому еще больше возможных форм потока.

В основании этого рассуждения лежит, однако, предположение, что скорость всюду направлена строго радиально, а это предположение редко выполняется в действительности. Весьма замечательным является, однако, следующий результат.

Течение в направлении падающего давления (поток со стоком) проходит существенно иначе, чем течение против падения давления (поток с источником). В первом случае поток отклоняется от потока без трения только вблизи стенок Во втором случае, уже малейшее трение придает потоку совершенно другой характер.

5. Поток между коаксиальными цилиндрами.

Если мы имеем еще проще

Положив

мы получим для однородное дифференциальное уравнение

характеристическое уравнение которого имеет двойной корень . Поэтому общее решение будет иметь вид

или,

где новая постоянная. Если вычислить еще давление, то мы найдем, что условие, чтобы давление возвращалось к своему прежнему значению при полном обходе по круговому кольцу, будет Мы получаем, следовательно,

Радиальная составляющая скорости будет равна нулю, а круговая равняется

где постоянные. Описанное этой формулой движение осуществляется в опыте Куэтта. В этом опыте жидкость заключена между двумя кбаксиальными цилиндрами, из которых один достаточно медленно вращается вокруг своей оси.