4. Решение задачи Коши по методу Вольтерра.

Обозначим черев объем, ограниченный плоскостью поверхностью конуса (8). Выделим из линию (10) поверхностью малого цилиндра радиуса описанного вокруг нее. Уравнение этого цилиндра будет:

Обозначим полученный объем через Применим теперь формулу Грина к искомому решению и фундаментальному решению в объеме Поверхность состой из части поверхности конуса (8), которую мы назовеи части поверхности цилиндра (11), которую мы назовеи и части плоскости которую мы обозначим

Применение формулы Грина дает нам:

На поверхности подинтегральное выражение обращается в нуль. Обращая внимание на то, что на поверхности уничтожается и

а на поверхности обращаются в нуль мы ножем переписать наш результат в виде:

Из формулы (9) вытекает:

Подставляя эти результаты в (12), получим:

Обозначим черев I окружность пересечения цилиндра (11) с плоскостью Интеграл по может быть записан в виде:

Посмотрим, каков предел этого интеграла при По теореме о среднем

где значение в некоторой точке на окружности Допустим, что отличается от на величину которая равномерно стремится к нулю вместе с При этом

где стремится к нулю. Предполагая, что ограничено, легко видим, что

Кроме того предполагая, что также ограничено, легко убеждаемся, что

имеет пределом нуль.

Перейдем к пределу в формуле (12), устремляя к нулю. Мы получим:

Продифференцируем эту формулу При этом

йнтеграл

зависит от как явно, так и благодаря тому, что граница области интегрирования является переменной. То самое относится, очевидно, и к тройному интегралу, взятому по В. Однако, в данном случае легко видеть, что переменность границы не сказывается при однократном дифференцировании. Действительно, в силу того, что подинтегральная функция уничтожается на границе области интегрирования, мы можем слегка расширить эту область, превратив ее в область, независящую от При этом мы непрерывно продолжим подинтегральное выражение в эту область с помощью тождественного нуля. Нетрудно видеть, что при этом можно будет дифференцировать по параметру полученный нами интеграл. Возвращаясь затем к старой области, мы убеждаемся, что производная по параметру от обоих рассматриваемых интегралов равна интегралу от производной. Принимая во внимание это обстоятельство, мы получим:

Перенося члены, содержащие неизвестное в одну часть, получим окончательный результат:

Метод Вольтерра им же был применен и к изучению упругих волн в неограниченном пространстве. Не останавливаясь на этом, перейдем сразу к задаче о распространении упругих волн в полупространстве при заданных начальных, и граничных условиях.