6. Построение первого фундаментального решения для трехмерной задачи теории упругости.

Рассмотрим несколько важных примеров применения принципа наложения.

В качестве первого примера укажем, как с помощью принципа наложения получается решение, в котором составляющие смещения определяются по формулам:

Решение, определяемое формулами (48), мы будем называть первым фундаментальным решением уравнений теории упругости.

Очевидно, что это решение представляет собою чисто продольную волну, в которой вектор смещения в каждой точке направлен по прямой, проведенной из начала координат в эту точку. Величина вектора смещения зависит только от расстояния до начала и времени. Таким образом, вся картина движения симметрична относительно начала координат.

Нетрудно видеть, что функции и имеют разрывы первых производных на поверхности

Эта поверхность, очевидно, является характеристикой уравнений теории упругости. Поэтому первое фундаментальное решение является правильным разрывным решением. Переходим теперь к построению этого решения по принципу наложения.

Рассмотрим некоторое частное решение плоской задачи теории упругости для в котором поперечная волна отсутствует, а составляющие смещения при выражаются формулами:

где удовлетворяет уравнению:

Мы будем рассматривать лишь положительные значения Внутри полукруга

мы будем брать, как обычно в предыдущих параграфах, при положительных значениях тот корень (51), который лежит в нижней полуплоскости. Это соответствует тому, что на отрицательной части мнимой оси мы будем считать отрицательным. Во внешности круга (52) мы будем определять значение различным способом, в зависимости от того, будет ли или

Как было указано раньше, в плоскости каждая каеательная к кругу (52) разделена своей точкой касания на две части, соответствующие двум различным корням уравнения (51). Мы будем, в каждой части пространства или выбирать для 6 тот корень, который сохраняет постоянное значение на отрезке полукасательной, заключенной между точкой касания и прямой линией Мы получим при этом картину, изображенную на рис. 53.

Рис. 53.

Пунктирными линиями изображены отрезки касательных, на которых

Кроме того, мы будем предполагать, что при функции обращаются в нуль.

Не трудно проверить, что введенные решения действительно представляют собою продольную волну, так как

Применим теперь к построенному решению принцип наложения. Мы получим решение уравнений теории упругости, имеющее вид продольной волны.

Составляющие смещения по осям координат будут при этом выражаться формулами:

где

Здесь под понимается взятый по пути, лежащему целиком в нижней полуплоскости.

Подсчитаем теперь смещения непосредственно вычисляя интегралы. Обозначая мы будем иметь внутри круга (52) следующие выражения для интересующих нас функций:

Здесь под понимается та его ветвь, которая обращается в нуль при

Точно так же, при получим:

Здесь опять под понимается его главная ветвь. Совершенно аналогично, при мы будем иметь:

Подставляя эти выражения в формулу (53) и выполняя интегрирование, которое совершается с помощью элементарных функций, мы получим окончательный результат для в виде:

где для краткости положено

Умножая первое равенство (53) на а второе на и складывая, будем иметь:

Аналогично, умножая первое равенство на а второе на и складывая, получим:

Вычисляя эти интегралы, мы получим с помощью элементарных, хотя и кропотливых выкладок:

откуда окончательно:

Мы видим таким образом, что первое фундаментальное решение для точек получается наложением частных решений (50).

Можно подобным же образом получить его и для . С этой целью в должны вместо решения (53) рассмотреть другое, обратное ему по знаку:

Это решение будет определено с помощью выбора значения при из верхней полуплоскости, причем на положительной части мнимой оси мы должны будем считать положительным.

Во внешности полукруга можно выбирать значения которые сохраняют: постоянную величину на линиях, показанных пунктиром (рис. 53).

Функцию мы будем при этом определять как взятый вдоль пути, лежащего целиком в верхней полуплоскости.

При этом для мы получим путем аналогичных выкладок формулы: