6. Интегральное уравнение теплопроводности и диффузии.

Выше нам было показано, что задачи теплопроводности и диффузии приводят к решени некоторых дифференциальных уравнений в частных производных второго порядк, Теперь мы покажем, что та же цель может быть достигнута путем решена некоторых интегральных уравнений, которые мы теперь и получим. Постави себе следующую задачу: при температура (или концентрация) везде равн нулю, только в непосредственной окрестности плоскости а. и отличается о нуля так, что взятый по этой окрестности интеграл Из соображения симметрии ясно, что и для всех позднейших времен есть функция только х и если среда однородна и изотропна и простирается до бесконечности.

Обозначив температуру (или концентрацию), как функцию исходного положения а и координат через мы можем найти распределе ние и для любого позднейшего момента времени так: по истечении времени от начального момента около точки получилось распределена Рассмотрим содержащееся между и количество тепла (или вещества) и позволим ему распространяться таким же образом дальше тогда в момент в точке х оно равно:

так как механизм распространения в первой части процесса очевидно тожде ственен с механизмом во второй части.

Примем теперь, что фактическое состояние в в момент дается Наложением всех выше определенных частичных процессов для всех от до тогда получим для функции следующее квадратичное интегральное уравнение :

которому должна удовлетворять функция для произвольного Можно легко проверить, что, например, наше решение (9), удовлетворяющее вышеуказанному начальному условию, есть решение этого интегрального уравнения. Мы не будем теперь заниматься трудной задачей решения интегрального уравнения (50) при подходящих граничных условиях, но хотим лишь показать, что решение (50) необходимо одновременно является решением некоторого дифференциального уравнения, при тех же граничных условиях. Предположения относительно функций, которые нам тут понадобятся, следующие: 1) функция при очень малых, исчезающе мала для всех за исключением непосредственно близких к для очень малых х и соответственно есть функция четная от а. Оба предположения фивически непосредственно очевидны. Далее, из сохранения количества тепла (или материи) следует, что не зависит от времени, следовательно, должно равняться начальному значению 1. Выберем очень малым по сравнению с и разложим функцию в степенной ряд по степеням Тогда имеем:

Разлагая по малой величине получим степенной ряд

В силу условия 2) для очень малых мы можем считать что при подстановке в (51) и (52) дает:

В этом ряду, в "силу условия 2), исчезают все интегралы, содержащие нечетные степени разности Далее, в силу предположения 1), стоящие под знаком интеграла функции исчезающе малы для всех не смежных непосредственно с х. Для этих значений еще умножается на степень малой величины Можно, следовательно, для очень малых пренебречь всеми интегралами ряда по сравнению с интегралом, содержащим Также исчезнут все члены с по сравнению с членом, содержащим Свободные от члены в обеих частях равны друг другу. Остается, следовательно:

Переставляя вдесь обозначения мы можем написать:

где введено для краткости обозначение

Так как это дифференциальное уравнение выполняется для всех вовсе не содержит х, то от не зависит. Следовательно, есть постоянная.

Мы видим: условие того, что некоторая функция есть решение интегрального уравнения (50) нашей задачи, заключается в том, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению (54) с Но это как есть дифференциальное уравнение теплопроводности или диффузии. Если мы, решая (50) или (54), нашли решение с источниками, удовлетворяющее некоторым граничным условиям, то посредством изложенного в § 2, 1 метода наложения можем найти решения и соответствующие произвольному начальному условию, и Мы приходим, таким образом, к установлению нового, а именно, линейного интегрального уравнения для функции и произвольного» начального состояния:

где имеет прежнее значение.

Мы исследуем это интегральное уравнение более подробно для того частного случая, когда нет граничных условий на конечных расстояниях и, следовательно, функция согласно § 2, (9), имеет вид:

В силу § 2, (7), всякое решение интегрального уравнения (56) и есть также решение дифференциального уравнения (54). Легко убедиться, что функции

суть решения дифференциального уравнения (54). Здесь обозначают полиномы Эрмита. Это легко докавать, если подставить (57) в (54) и принять во внимание дифференциальное уравнение для полиномов Эрмита.

Подставляя в уравнение (56) вместо и функции (57), ему удовлетворяющие, получим:

Вводя сюда новые переменные:

получим

Это есть линейное однородное интегральное уравнение для функции ядро которого, однако, несимметрично. Умножением на мы можем его легко превратить в уравнение с симметричным относительно ядром. Тогда из (60) получаем:

Мы видим, что функции суть собственные функции интегрального уравнения (61) с симметричным ядром

соответствующие собственным (характеристическим) числам Ядро содержит сверх того параметры

Отсюда следует, что (с определенными ограничениями) произвольную функ» можно разложить по этим функциям:

Это разложение можно использовать для решения указанной выше задачи линейной теплопроводности. Именно, если начальное состояние вадано функцией т. е. и то для согласно преобразованию (59), можно положить Разлагая теперь согласно (63) и заменяя в этом разложении X по (59) на получим некоторую функцию удовлетворяющую интегральному уравнению (56) и при заданному начальному условию и, следовательно, представляющую решение нашей задачи.

Можно притти к некоторому другому интегральному уравнению для процессов теплопроводности или диффузии, если, согласно § 2,1, разбить дифференциальное уравнение (1) на два уравнения для переменных причем получится обыкновенное дифференциальное уравнение:

Из этого дифференциального уравнения можно получить однородное линейное интегральное уравнение и из него решение линейной задачи теплопроводности при заданных граничных условиях при помощи разложения по соответствующим собственным функциям.