11. Кинетическая энергия потока.

Кинетическая энергия потока в конечной или бесконечной области зависит от находящихся в этой области источников и вихрей.

а) Кинетическая энергия потенциального движения

равна

и может быть, по теореме Грина [уравнение ] приведена к виду

где интеграл распространен по всей границе области. Для областей, уходящих в бесконечность, интеграл по внешней (бесконечно удаленной) поверхности обращается в нудь, если жидкость на бесконечности покоится и остается только интеграл по внутренней поверхности, крторый конечен. (Потенциальный поток, который бы не имел особенных точек и заполнял все бесконечное пространство, не существует, если, как мы предполагаем, скорость на бесконечности есть нуль).

b) Кинетическая энергия потока, вызванного одним только полем источников. этом случае

где есть приведенная плотность. Кинетическая энергия имеет первоначально тот же вид как и для потенциального движения, но, после преобразования по теореме Грина, она принимает вид

Для безграничного пространства второй интеграл обращается в нудь. В этом случае мы получаем:

При этом достаточно интегрировать по той части пространства, в которой фактически имеются источники, т. е. где Подставляя для его выражение (2), получаем кинетическую энергию

в виде двукратного объемного интеграла. Здесь обозначает расстояние между двумя точками, лежащими в элементах в которых плотности источников равны штрих служйт для различения обоих интегрирований. В выражении для кинетической "энергии конечной области, наряду, с этим членом, будет еще стоять соответствующий поверхностный интеграл.

Выражение вида (31) часто встречается в теоретической физике; слегка изменяя в нем обозначения, мы получаем, например, значение потенциальной энергии данного распределения электрических или грагитирующих масс.

Кинетическая энергия поля зависит, согласно (31), не от полной интенсивности источников, а от их распределения. Если мы имеем ноле источников общей интенсивности заполняющих с равномерной плотностью некоторый шар, то, изменяя при постоянном радиус В этого шара, мы получим, что кинетическая энергия всего бесконечного потока обратно пропорциональна радиусу шара. Это замечание весьма существенно, так как оно

показывает нам, что кинетическая энергия поля точечного источника бесконечно велика. Точечный источник конечной интенсивности есть математическая фикция, пригодная для упрощенного описания непрерывного распределения источников; поэтому неудивительно, что в точках, совпадающих с самими источниками, описание будет уже качественно неверным. Существенным является, однако, факт, что и некоторые свойства всего поля получаются при применении точечных источников количественно неверными (например, энергия получается бесконечной).

с) Для чисто вихревого поля скорость задается уравнением

где, согласно (2В), 8,

есть векторный потенциал, и

есть заданный вихрь (завихренность) скорости в каждой точке пространства. Для этого случая мы напишем кинетическую энергию потока, заполняющего бесконечное пространство, в виде

Воспользовавшись векторным преобразованием

и применив теорему Гаусса, мы получим

Появляющийся поверхностный интеграл по границе потока обращается для безграничного пространства в нуль, если жидкость на бесконечности покоится. На основании (32) и (32) можно представить кинетическую энергию в виде двукратного интеграла по всему пространству

где штрихи служат, как и в (31), для различения обоих интегрирований. Наряду с (33), представляет интерес еще одно выражение для энергии. Обозначим элемент объема вихревой нити через

где есть вектор поперечного сечения, векториальный линейный элемент некоторой средней вихревой линии, и введем циркуляцию вихревой нити

Мы получим тогда

Здесь внешнее интегрирование нужно производить так, чтобы каждое произведение цнркуляций двух вихревых нитей входило только один раз, т. е., чтобы появление каждого один раз в виде первого множителя и другой раз в виде второго уже не принималось в расчет.

Выражения (33) и (33), так же как и (31), встречаются в других областях теоретической физики. Они дают, например, потенциальную энергию или электродинамический потенциал поля замкнутых электрических токов.

Высказанные выше, при рассмотрении энергии поля источников, соображения о том, что произойдет, ебли изменить распределение источников, не изменяя их полной интенсивности, могут быть перенесены с соответствующими изменениями и на вихревое поле. Энергия поля тока, вызываемого одной вихревой нитью, увеличивается, если уменьшить сечение нити без изменения ее полной циркуляции. Она становится бесконечно большой, если сечение стремится к нулю, т. е. если вихревая нить обращается в сингулярную вихревую линию конечной циркуляции. Сингулярные вихревые линии представляют, следовательно, математическую фикцию, пригодную для замены вихревых нитей при рассмотрении поля тока вне их. В точках же самих вихревых нитей получаются качественные отступления; кроме того, энергия всего поля получается количественно неверной.

d) В общем случае поле тока, содержащее источники и вихри, может быть представлено в виде

Его кинетическая энергия складывается из кинетической энергии потенциального поля энергии вихревого поля и добавочного члена

который не обязательно положителен. Член может быть преобразован в поверхностный интеграл, взятый по границе области, заполненной жидкостью, и обращается в нуль, если жидкость занимает все бесконечное пространство и на бесконечности покоится. В этом последнем случае кинетическая энергия поля принимает, на основании (31) и (33), следующий вид:

Кинетическую энергию жидкости, заключенной в конечной области, мы в общем случае исследовать не будем. Для потенциального движения в конечной области нами уже дано для энергии выражение (29). Другой интересный путь для ее вычисления дает нам уравнение (33). Заменим поток, заполняющий конечную область потоком, заполняющим все пространство, так, чтобы в первоначальной конечной области поток оставался неизменным, а в области, в которой первоначально не было тока, жидкость покоилась. Тогда все движение можно считать вызванным вихревым слоем, покрывающим границу первоначальной конечной области. Выражение же (33), рассматриваемое как поверхностный интеграл по этой границе, дает искомую кинетическую энергию.