3. Теорема Лиувилля.

Чтобы найти фупкции удовлетворяющие уравнению (5) или (5а), рассмотрим прежде всего тот случай, когда т. е. представляет собою область состояний в -мерном фазовом пространстве. Если функцию и определить так же, рак и в 1, то мы будем иметь случаи импримитивной системы нулевой кратности, не имеющей однозначных интегралов, и фазовая кривая "заполняет" -мерный фазовый объем. Этот случай не встречается в механике, так как интеграл энергии всегда однозначен. Если же мы под функцией будем понимать плотность виртуального множества, не совпадающего с временным множеством, то мы сможем и в этом случае поставить математический вопрос: какой вид должна иметь функция для того, чтобы удовлетворять условию (5). Через мы обозначим теперь координаты фазовой точки, представляющей собою состояние некоторой материальной точки, в момент времени а через -соответствующие значения для той же материальной точки в момент времени

Тогда уравнение (7) будет характеризовать переход фазовых точек в новые положения, происходящий в промежутке от до Рассмотрим теперь множество состояний в момент и предположим, что соответствующие им точки заполняют область состояний фазового пространства, определяемую (11). Чтобы вычислить изменение этого объема с течением времени необходимо вместо подставить их выражения из уравнения (7), причем однако время I в правой части последнего уравнения, а, следовательно, и в уравнение нужно рассматривать как параметр. Тогда из (11) следует

или согласно (11а):

Отсюда мы получим, на основании (10) и (2), применяя правило дифференцирования определителей:

где

и так как

то

Но так как

то

или, согласно

и уравнение (30) примет вид:

Если уравнения (2) представляют канонические уравнения движения механики, то

Таким образом, на основании (33), (34) мы получим:

Это значит, что если рассматривается множество систем, фазовые точки которых в момент времени заполняют определенный объем фазового пространства, то на основании уравнений движения фазовые точки того же множества систем в какой-нибудь момент времени будут заполнять такой же по величине объем. Очевидно, что это справедливо также и для элемента объема. Действйтельно, если переходят на основании уравнений движения в то согласно (11) и (11а):

Так как прямоугольные координаты начального состояния, на основании (7), можно рассматривать как криволинейные координаты конечного состояния, то из (37) следует, что элемент объема также равен следовательно, в (16), Тогда, вследствие того, что из (5) и (37) вытекает, что Если также, как в 1, считать, что функция и характеризирует собою относительное время пребывания, то на основании (37) мы приходим к следующему заключению: если однозначные интегралы не существуют, т. е. если фазовые кривые "заполняют" -мерную область, то времена пребывания в равных по величине частях объема фазового пространства будут равны друг другу.