§ 2. Уравнения движения Лагранжа и Гамильтона

1. Вид уравнений Лагранжа.

Если мы будем рассматривать механическую оистему, состоящую материальных точек, прямоугольные координаты которых по отношению к инерциальной системе мы обозначим теперь через то движения системы подчиняются принципу Даламбера (§ 1,5). Если мы обозначим массы через и составляющие приложенных сил через то из этого принципа в его лагранжевой форме [§ 1 (35)] следует, что должно иметь место уравнение:

при

где -произвольные бесконечно малые изменения координат, йовместимые с уравнениями связей, которые только и ограничивают свободу движения системы. Будем рассматривать системы с степенями свободы, для которых можно считать функциями "обобщенных" координат так что каждое бесконечно малое изменение величины совместимо с

ограничивающими условиями (голоиомные системы). Соотношения, выражающие прямоугольные координаты через обобщенные, имеют вид:

Если время не содержится в них явно называются тогда склерономными координатами), то также относятся в инерциальной системе. Из уравнений (2) следует:

Величины называются обобщенными составляющими силы, отнесенными к координатной системе величин С помощью тождеств:

из которых второе следует из уравнения (3), мы получаем:

Если ввести живую силу системы, причем [согласно § 1 (29)]:

то из (5) вытекает:

Величины - называются обобщенными составляющими импульса. Из (1), (6), (7) и (4) теперь следует

откуда вследствие произвольности вытекают уравнения движения Лагранжа:

Если в К вставить выражения для из (3), то живая сила принимает вид:

где представляют собой известные функции Мы видим из (3), что в случае склерономных координат величины равны 0, так что, согласно (10), К в этом случае является однородной квадратичной функцией В дальнейшем

мы ограничимся случаем, когда время не содержится явно в этих коэффициентах, если даже оно и входит в уравнения (2). Тогда:

Переставляя значки суммирования, мы получим:

Если вставить все эти выражения в (9), то уравнения Лагранжа принимают развернутый вид:

Величины называются символами Кристоффеля.

Если составляющие сил заданы как функции то уравнения движения (9) и (11) представляют собой дифференциальных уравнений 2-го порядка для функций от времени Если время Не входит в уравнения (2), то а поэтому, согласно (12), также и и уравнения движения (11) принимают более простой вид:

Если же входит в уравнения (2), то уравнения (11) все же можно привести к виду (13), если написать их в виде:

Иначе говоря, мы можем вычислять так, как если бы были отнесены к инерциальной системе; но только при этом необходимо прибавить силу с составляющими "фиктивную силу относительного движения". Если величины равны 0, то координатная система является инерциальной, даже если входит в уравнения (2).