7. Вывод приближенной формулы для точек вблизи поверхности земли.
Наибольший интерес представляет значение ноля для точек, высота
которых над землей весьма мала по сравнению с горизонтальным расстоянием от антенны (диполя). В этом случае можно упростить выражение (58) и свести в нем интеграл в другому, зависящему только от одного параметра.
Рассмотрим интеграл, входящий в выражение (58). В нашем случае
будет близко к единице; поэтому мы разбиваем интеграл на два — один от
до 1 и другой от 1 до
Первый из этих интегралов равен, как нетрудно видеть, половине интеграла от
до
входящего в (54а), так что соответствующий член в
равен
Выделяя этот член и обозначая его через
мы можем написать
где
и
В интеграле, входящем в (61), произведем подстановку (56 и напишем его в виде
Здесь верхний предел
определяется из равенства
причем мы имеем [см. уравнение (50)]
Подставляя
в (61) и пользуясь (65), получим
Так как мы считаем величины —
малыми, то параметр
также будет малым, причем мы будем иметь, согласно (64),
или приближенно
В выражении (66) разлагаем
по степеням (
отбрасывая четвертые степени. Происходящая отсюда погрешность будет порядка
так что при обычных условиях она будет весьма мала. Интеграл в (66) напишется:
Введем теперь величину
которую назовем "численным расстоянием", и возьмем в качестве переменной интегрирования величину
Верхний предел в нашем интеграле будет тогда
где
и вследствие того, что
наш интеграл напишется:
Подставим теперь (69) в (66) и заменим там множитель
перед интегралом его приближенной величиной
Помня соотношение (67), мы получим:
где
причем
имеют значения (67) и (68). Нам остается преобразовать выражение (62) для
Мы в праве считать величину
большой, несмотря на то, что
весьма мало, и можем поэтому подставить вместо
асимптотическое выражение (8) стр. 869. Мы получим тогда:
или если мы воспольвуемся (67) и выравим х, согласно (29), черев
Преобразуем здесь выражение в показателе На основании (65) и (68) мы имеем:
откуда
Подставляя это в (72) и заменяя там перед интегралом знаменатель
получим
Заметим, что вследствие соотношения
мы можем сумму выражений (70) и (74) представить в виде:
Это и есть окончательная приближенная формула, которая была получена также и Вейлем в его работе, цитированной на стр. 943. При о (когда
она вполне совпадает о формулой, выведенной автором
Зонмерфельдом) в
Величина
[уравнение (71)] может быть легко разложена в ряд по степеням
В самом деле,
удовлетворяет дифференциальному уравнению
с начальным условием
при
Отсюда тотчас получается, путем «равнения коэффициентов
Разложение в ряд величины будет поэтому:
Для достаточно малых значений
мы будем иметь:
Как мы уже отметили в конце 6, это выражение соответствует (также и в отношении множителя предельному случаю бесконечно большой проводимости земли,
конец 3, случай b).
То, что здесь для палых
получается предельный олучай идеального проводника, является интересный подтверждением той точки зрения, которая принималась в первых работах по беспроволочной телеграфии [например, в работах М. Абрагама (Abraham)] и согласно которой земля считалась бесконечно-проводящей и антенна отражалась от поверхности земли. Но мы теперь видим что эта точка врения допустима только при
а что для больших
наблюдаются отклонения, зависящие от вещества земли.
Входящая в наши формулы величина
названная нами численным расстоянием, будет, вообще говоря, комплексной. Однако, как это видно из нрибл женной формулы (67),
в том весьма важном частном случае, когда мнимая часть
весьма велика
сравнению с вещественной частью, численное расстояние
будет веще ственным.
Наше выражение (67а) для
содержит своего рода закон подобия для беспроволочной телеграфии. Так как поле задается выражением (75), а у поверхности земли, где
оно зависит только от (если отвлечься от несущественного множителя
, то одинаковым значениям
(при, быть может, весьма различных значениях
) соответствуют одинс ковая величина и одинаковый характер поля.
Все обстоятельства, увеличивающие (уменьшающие)
делают хуже (лучше передачу волновых сигналов. Рассмотрим в этом отношении, во-первых, свойств почвы, ватем частоту или длину волны колебаний.
Влияние свойств почвы очень значительно. Важна не только проводимости земли
, но также и ее диэлектрическая постоянная
значение которое вместе с
, определяет, согласно уравнению (1), значение
, а следовательно согласно (67а), также и значение
. О материальных постоянных различных родоь земли имеются приблизительные данные Ценнека (J. Zenneck). По ним можно вычислить, например, для расстояния
вемного квадранта (что соответствует первой трансатлантической станции Ирландия-Лабрадор) и для длины волны
(для старых больших станций) следующие значения (в круглых числах):
(см. скан)
Соответственно совершенно различным порядкам величины этих чисел, мы должны ожидать во всех этих случаях различное телеграфное действие и различную картину волнового процесса.
Затем рассмотрим влияние длины волны на численное расстояние, например, в случае морской воды, где можно пренебречь током смещения по
сравнению с током проводимости. Тогда, согласно (1), будет
и согласно (67а):
Таким обравом, увеличение частоты (уменьшение длины волны) увеличивает
в рассматриваемом случае по квадратичному закону. Если в вышеприведенном примере уменьшить длину волны с
до
мы увеличим
с — до 3,3. Мы должны ожидать, что телеграфное действие соответственно ухудшится. Обратпо, имевшаяся первоначально тенденция переходить для больших станций к волнам все большей длины доказывает, что увеличение длины волны — вследствие уменьшения численногр расстояния — благоприятно для преодоления больших абсолютных расстояний.
Конечно, это заключение связано с предположением об однородности атмосферы и о непрерывном распространении вдоль поверхности земли. При учете же возможной неоднородности атмосферы (поверхности разрыва, отражающие волны обратно) соотношения могут измениться на обратные. Новейшие опыты с очень короткими волнами
показали, что эти волны преимущественно отражаются от верхних слоев воздуха и поэтому могут, перекрыть большие расстояния. При эксперименте можно даже отделить оба рода переноса волн: прямые или "земляные" волны (ground ray) и непрямые или отраженные волны (atmospheric ray). Наши формулы относятся только к первому из этих двух родов волн и для них
подтверждаются экспериментом, в особенности поскольку дело идет о зависимости от материальных постоянных земли.