§ 5. Условия излучениях). Собственные функции и собственные значения

Решения уравнения колебаний для бесконечно большой области не определяются однозначно заданием источников и условием равенства нулю на бесконечности, как это имеет место для уравнения потенциала, — они остаются при этом в большой мере произвольными. Решение уравнения потенциала, обращающееся на бесконечности в нуль и не имеющее источников на конечных расстояниях (т. е. повсюду регулярное), должно равняться нулю. Решение же уравнения колебаний, обращающееся на бесконечности в нуль и не имеющее источников на конечных расстояниях, может быть отлично от нуля (то же имеет место и для конечной области). Такое решение мы назовем "ообственным колебанием" бесконечной области. "Собственными значениями" называются те значения для которых существуют собственные колебания, т. е. решения уравнения не имеющие особых точек и стремящиеся к нулю на границах. Собственные значения бесконечной области образуют повсюду плотное множество, т. е. для каждого к существуют собственные функции; в случае же конечной области такие функции существуют только для дискретных значений k. Таким образом, если область бесконечна, то тот, вообще говоря, исключительный случай, когда решение не определяется гаданием источников и условием равенства нулю на бесконечности, будет иметь место при любом значении k. В случае же конечной области этот случай возможен только при некоторых значениях к, а в теории потенциала — совершенно невозможен. Физическое основание этого заключается в следующем: при решении задач оптики и задач, сходных с ними, речь идет о бегущих волнах, исходящих из источников, расположенных на конечном расстоянии и излучаемых в бесконечность, т. е. о расходящихся волнах. С другой стороны математически равноправными, хотя физически и не осуществимыми, были бы сходящиеся бегущие волны, т. е. волны, исходящие из бесконечности и поглощаемые заданными "стоками", расположенными на конечном расстоянии. Комбинируя соответствующим образом оба рода бегущих воли, мы можем исключить все особые точки, источники и стоки и получить стоячие волны, по характеру сходные с собственными функциями бесконечной облаоти.

Возможность наложения таких стоячих волн на любое решение задачи указывает на неоднозначность ее постановки.

Но так как в природе реализуется, очевидно, только одно однозначно определенное решение, то необходимо ввести дополнительное условие, при помощи которого мы смогли бы из совокупности всех решений уравнения колебания выбрать бегущие расходящиеся волны. Этот критерий относится к поведению волн на бесконечности. Мы будем его называть условием излучения.

Различие между расходящимися и сходящимися, бегущими и стоячими волнами можно уяснить себе при помощи обоих членов решения Даламбера [§ 4, уравнение (6 с)]. В случае периодической зависимости от времени они иеют вид:

где

На бесконечности они удовлетворяют условиям:

Переходя к вещественной части, мы убедимся, что есть расходящаяся бегущая волна, а сходящаяся бегущая волна:

При наложении обеих волн мы получим вынужденную стоячую волну. Рассмотрим

Сферы одинаковой фазы будут теперь неподвижны; колебание имеет в точке О источник (т. е. является вынужденным). Оно получается в результате интерференции двух бегущих колебаний, одного расходящегося и одного сходящегося, которые встречаются в нулевой точке с одинаковой фазой. Если же положить

то мы получим свободную стоячую волну. В этом случае сферы одинаковой фазы также закреплены, однако в нулевой точке нет источника. Эта "собственные колебания" бесконечного пространства происходят от интерференция двух бегущих волн, одной расходящейся и другой сходящейся, которые встречаются в нулевой точке с противоположными фазами.

Попытаемся теперь вывести условие излучения в общем виде. Чтобы охватить случай произвольно заданных, но расположенных на конечном расстояния источников (распределенных в пространстве непрерывным образом или же сосредоточенных в точках) при любом виде границ области, определим искомую функцию и при помощи следующих условий:

a) функция и вне замкнутой поверхности о (которая может состоять из нескольких поверхностей) должна удовлетворять дифференциальному уравнению

Функция является мерой интенсивности источников, которые могут быть распределены непрерывно или сосредоточены в отдельных точках. Во всяко случае функцию нужно считать наперед заданной, притом так, чтобы на бесконечности она достаточно быстро стремилась к нулю. Обозначим область, для; которой справедливо уравнение (5), через S;

b) функция и должна обращаться в нуль на поверхности о (или удовлетворять аналогичному однородному условию)

c) функция и должна на бесконечности стремиться к нулю таким образом, чтобы при произведение оставалось конечным, "условие конечности";

d) так как эти условия еще недостаточны для определения то мы добавим к ним "условие излучения" (2):

Здесь величина представляет собою расстояние от какой-нибудь (расположенной на конечном расстоянии) точки О, которая пусть находится внутри 8. Таким образом, если мы положим

то и должно каким-либо образом стремиться к нулю при Пусть в формуле Грина

и есть решение, удовлетворяющее этим требованиям, а функция равна

где есть радиус-вектор от точки О до точки интегрирования уже примененный в (6). Далее, пусть есть пространство, заключенное между поверхностью в и очень удаленной поверхностью , за вычетом объема, лежащего внутри очень малой поверхности окружающей точку О. Поверхностный интеграл, стоящий в правой части равенства, следует взять по всем трек поверхностям Так как то интеграл, стоящий в девой части равенства, равен:

а интеграл, стоящий в правой части равенства [см. § 3, уравнение (2), где проведены подобные же рассуждения], равен, благодаря наличию

интегрируя по (пусть, например, функция и должна обращаться на поверх» ности о в нуль), получим:

к, наконец, интегрируя по Е:

Таким образом, мы получим

Так как

то

Здесь

представляет собой телесный угол, под которым величина видна из точки поэтому интегрирование в последнем интеграле нужно производить по конечной области и этот интеграл будет равен пулю во всех тех случаях, когда будет стремиться в нулю на бесконечности условие о]. Далее, первый интеграл в (10) равен нулю по условию излучения Чтобы это доказать, возьмем в качестве шаровую поверхность, описанную точки О, как из центра, бесконечно большим радиусом. Тогда

и первый интеграл [ср. (6а) и (10а)] перейдет в

Благодаря условию излучения и условию конечности с), выражение равно нулю, и следовательно, значение в произвольной точке О можно представить, согласно (9), как совокупность расходящихся волн происходящих от источников расположенных внутри области, и от возмущений на границе области

При помощи условия излучения легко показать однозначнооть задачи о вынужденных колебаниях, или что то же самое — невозможность собственных колебаний. В саном деле, пусть представляют собой два различных решения, удовлетворяющих всем условиям от а) до условия Тогда разность этих решений также будет удовлетворять тем же условия кроме а), вместо которого она будет удовлетворять дифференциальному уравнению:

Предположим, что существует функция Грина т. е. функция, висящая от обоих аргументов О (источник) и (точка наблюдения), удовлетворяющая всем условиям от до и кроме того дифференциальному уравнению (11) (относительно координат точки Этому уравнению функция удовлетворяет везде, кроме точки О, так как в этой точке обращается в бесконечность как иначе говоря, ведет себя как . Подставляя в (7) вместо v эту функцию, мы получим, вместо (9):

Если мы воспользуемся эдееь условием излучения для введем функцию аналогичную и в (6а), и выберем в качестве поверхности сферу центром в точке О (т. е. ), то мы получим

Но это выражение равно нулю, так как на основании с) конечны, на основании стремятся к нулю, и интегрирование производится по конечной области

Отсюда вытекает, что и должно равняться нулю в любой точке О, так что мы имеем что и требовалось доказать.

Физически непосредственно очевидно, что из условий излучения вытекает невозможность собственных колебаний. Действительно, это условие запрещает подвод энергии из бесконечности, требуя в то же время непрерывного отвода ее. При этих обстоятельствах любое осуществленное каким-либо образом свободное колебательное состояние будет затухающим, т. е. будет иметь комплексную частоту а следовательно, и комплексное тогда как мы предполагали, что в нашем дифференциальном уравнении к вещественно. Доказывая невозможность собственных колебаний с вещественным значением к, мы не исключили возможность существования собственных колебаний для ряда дискретных комплексных значений к, соответствующих некоторому затухающему начальному состоянию. Для беспроволочной телеграфии вокруг земного шара (см. XXIII, § 4,2) такого рода затухающие собственные функции имеют большое значение.