6. Приближенное представление решения.

Интегралы Рассмотрим теперь интегралы Обозначая, как принято, интеграл по петле, окружающей точку разветвления символом мы можем написать:

Но по формуле (15а) мы имеем:

так что величину а следовательно, и можно разложить на два слагаемых:

где

и

будет, очевидно, четной, a - нечетной функцией от . Величину можно представить в виде

где через обозначен интеграл

Величину мы будем вычислять приближенно, пользуясь тем, что весьма мало по сравнению с и что главным участком пути интегрирования является та его часть, которая лежит вблизи точки разветвления значит, проходит недалеко от полюса Мы получим хорошее приближение, если заменим иод интегралом функцию

выражением, которое мало от нее отличается на главном участке. Для этого достаточно взять первые члены разложения вряд по степеням т. е. положить

Так как, на основании (23) и (29),

то мы будем иметь:

Подставим это выражение в (35), причем воспользуемся обозначением (37), а также равенством

которое получается дифференцированием первого из уравнений (19) по . Мы получим:

Складывая это с (36) и помня (33), получим:

где мы положили

В выражении (42) первый член будет главным, а второй поправочным.

Дальнейшие, отброшенные нами, члены содержали бы нечетные производные по от умноженные на малые коэффициенты. Второй член мы также отбросим в окончательном результате; мы его сохранили здесь, чтобы видеть, какого порядка величины мы отбрасываем.

Нам остается вычислить величину Дифференцируя (37) под знаком интеграла и имея в виду, что

мы получим:

Дифференцируя (44), легко вывести, на основании (40), что функция V удовлетворяет уравнению

Мы получили дифференциальное уравнение, из которого легко определить V, пользуясь предельным условием

Для решения (45) полагаем

и получаем для уравнение

решение которого есть, очевидно,

Функцию удобнее представить в виде

где нижний предел равен:

В тождественности (48) с (47) легко убедиться из следующих соображений. При будет следовательно, интеграл (48) обращается в нуль. Далее

и наконец

Поэтому производные совпадают и равны (45, а следовательно оба выражения для равны.

Подставляя (48) в (46), будем иметь:

Так как мы вычисляли величину приближенно, то мы должны, строго говоря, пренебречь в выражении (39) величиной по сравнению с

Подставим, наконец, найденное выражение для V в (42). Мы получим:

Здесь член, содержащий производную весьма мал по сравнению с главным членом; поэтому мы можем его отбросить. С той же степенью точности мы

можем заменить стоящий перед скобкой множитель — единицей. Сделав эти пренебрежения, мы получим для следующее более простое выражение:

где, напомним, имеет значение (49). Сделав такое же пренебрежение в выражении (30) для мы получим:

Что касается то эту величину можно представить в виде интеграла того же вида, как [уравнение (35)], только взятого по петле, охватывающей точку Без всяких вычислений ясно, что этот интеграл будет чрезвычайно мал, а именно, того же порядка, как значение функции стоящей под интегралом, при k. Эту функцию мы можем толковать как волну, распространяющуюся с тем же поглощением, какое имеет место в земле; ясно, что на рассматриваемых расстояниях амплитуда ее будет практически равна нулю. Поэтому без ощутительной погрешности мы можем положить:

Таким образом, мы нашли приближенные выражения для всех трех величин и сумма которых дает, согласно (26), вектор Герца

При составлении суммы мы должны иметь в виду, что функция в (54) может быть представлена в виде интеграла того же вида какой входит в (53), только с другими пределами. В самом деле, на основании формулы (3) § 2, гл. XX, мы имеем:

Положив здесь

и припоминал, что при стремящемся к в области а при в области мы можем написать (55) в виде

Подставляя это в (54), мы получим для выражение:

Если мы сложим это с выражением (53) для мы можем оба интеграла соединить в один и получим:

Заменяя здесь переменную интегрирования на и полагая т. е., согласно (50),

мы можем вместо (57) написать:

Это окончательное выражение для послужит основой для дальнейшего исследования. Оно совпадает с тем, которое было совершенно другим путем выведено Вейлемх), если в выражении Вейля заменить множитель единицей.

Первый член в (58) представляет, очевидно, первичное возбуждение. Если считать землю абсолютным проводником, то второй член в (58) исчезает; он представляет, таким образом, влияние конечной проводимости земли. Заметим, что этот второй член уже не обращается в бесконечность при как это было с величинами в отдельности. Следовательно, и выражение (58) для остается, при конечным и равным:

Таким образом, выражение (58) справедливо во всем пространстве выше поверхности земли.