2. Формула Грина для волнового уравнения.

Формула Грина для четырех переменных не содержит ничего нового по сравнению со случаем трех неременных но так как здесь могут представиться некоторые трудности, связанные с рядом новых геометрических понятий, то мы остановимся на этом подробнее.

Рассмотрим какую-нибудь область в пространстве четырех неременных ограниченную некоторой трехмерной совокупностью, которую мы будем называть гиперповерхностью.

Пусть внутренние точки области определяются неравенством:

и уравнение гиперповерхности имеет вид:

Назовем направляющими косинусами внутренней нормали в четырехмерном пространстве величины:

Будем называть элементом гиперповерхности и обозначать через выражение, определяемое одним из следующих равенств:

где x, у, z, t связаны зависимостью (4).

Нетрудно видеть, что все эти определения, вообще говоря, эквивалентны, если только знаменатели у них не обращаются в нуль.

Действительно, если считать за независимые переменные сначала, например, х, у, z, а затем перейти к переменным то очевидно:

откуда

или

что и доказывает наше утверждение.

Рассмотрим теперь интеграл, взятый но гиперповерхности

и преобразуем его в четырехкратный интеграл, взятый но области 9. Преобразуем, например, интеграл:

Если подставить вместо его выражение, то этот интеграл разобьется на два отдельных слагаемых в зависимости от знака Мы получим, таким образом:

где та часть поверхности, для которой внутренние точки объема , близкие в ней, имеют координату большую, чем в точках поверхности, стремящуюся к своему значению на поверхности, остальная часть. Таким образом, на прямых для интегралов, соответствующих внутренним точкам , точки служат нижней границей, а точки верхней границей.

Замечая теперь, что

и выражая разности интегралов но и через интеграл от производной, получим:

Проводя то же рассуждение для остальных слагаемых, получим окончательно следующую формулу:

Эта формула обычно и называется формулой Грина.