4. Решение волнового уравнения.

Применим формулу (7) в объему 2, определенному неравенствами:

Геометрический объем представляет собой часть гинерконуса с вырезанным из него малым гиперцилиндром.

В качестве функций возьмем искомое решение волновогоуравнения и частное решение (8).

Мы получим при этом:

где представляет часть гиперповерхности (10), являющуюся границей объема часть гиперповерхности цилиндра часть гиперплоскости являющуюся границей этой поверхности. Через здесь обозначено выражением

и

Посмотрим, во что преобразуются все три слагаемые левой части формулы (12). Легко видеть, что обращается в нуль. Действительно, на очевидно, уничтожается как так и

Интеграл представляет собой известную величину, так как на и уничтожаются, обращается в единицу. Функции на определяются начальными условиями (2). Таким образом:

Вычислим интеграл по поверхности

На этой гиперповерхности Таким образом, мы получим для интеграла по выражение:

Через здесь обозначен элемент поверхности сферы Преобразуя интеграл от первого слагаемого, получим:

Очевидно, при стремящемся и нулю, предел внутреннего интеграла будет:

а все выражение имеет пределом:

Совершенно аналогично убеждаемся, что интеграл от второго слагаемого равен нулю. Собирая все результаты, мы будем иметь:

Дифференцируя обе части полученного равенства два раза но мы получим:

откуда

Формула (15) дает значение функций и в любой точке и тем самым до конца решает поставленную задачу. Если выполнить фактически дифференцирование в ее правой части, то ей можно придать более компактный вид:

где

Из этой формулы можно вывести несколько простых физических заключений характере происходящего явления.

Допустим сначала, что мы имеем дело с задачей о свободном колебании, то есть функция тождественно равна нулю. Пусть, кроме того, начальные условия таковы, что функции отличны от нуля только в некоторой ограниченной области пространства лежащей на конечном расстоянии.

При этом функция и будет в некоторой точке отлична от нуля только для таких моментов времени при которых переменная поверхность сферы проходит через область

Таким образом, если точка лежит вне области то моментом вступления волны в эту точку будет момент где кратчайшее расстояние от точки до области

Затем при обозначает наибольшее расстояние от точки до переменной точки области колебание прекратится, и при данной точке будет покой.

Таким образом, возмущение движется в пространстве со скоростью а и проходя не оставляет никаких остаточных колебаний. Это явление называется принципом Гюйгенса. Характер действия объемных сил совершенно тот же, как и характер влияния начальных условий. Мы предоставляем читателю проверить самому, что возмущение, вызванное действием этих сил, также движется со скоростью а и проходя не оставляет никакого следа.