2. Сосредоточенная сила, приложенная на границе полуплоскости.

Рассмотрим полуплоскость , на границу которой в начале координат, действует сосредоточенная сила К в направлении оси у. Определим прежде всего значения и вдоль оси х (т. е. на границе области), начиная интегрирование от точки Мы имеем формулы (10):

где суммы горизонтальных и вертикальных компонентов сил, приложенных к границе между точкой и рассматриваемой точкой. Следовательно:

Для нахождения решения заметим, что если и суть потенциальные, функции двух переменных то функция

удовлетворяет уравнению При имеем:

Следовательно, значение на границе (оси ) функции совпадает со значением на границе функции Потенциальная функция, принимающая на границе значения того же характера, что и т. е. линейная (на оси ) справа и слева от начала и имеющая производную (по х), которая изменяется скачком при переходе через начало координат, дается нам мнимою частью комплексной функций

где обычные полярные координаты. Если положить:

то вышёнанисанное граничное условие будет выполнено. Далее, так как вдоль всей оси должно быть то

Мы получаем, следовательно:

или, окончательно:

Отбрасывая несущественные для напряжений члены мы получаем просто:

Дифференцируя это выражение, мы получаем напряжения:

Исходя из этого решения, можем найти функцию напряжений для случая, когда вдоль оси х распределены произвольные нормальные силы следующим путем. Если в точке I действует сила; равная 1, то соответствующая функция напряжений:

Если же на элемент действует сила то соответствующая функция напряжений:

Если теперь по оси х приложены силы на единицу длины, то соответствующие функции напряжений суммируются. Интегрируя, мы таким образом получаем функцию напряжений в виде: