§ 3. Ход луча в различных средах

1. Закон преломления.

Рассмотрим теперь тело, обладающее тем свойством, что для одной его части показатель преломления определяется функцией а для другой — функцией Предположим, что обе части соприкасаются вдоль некоторой плоскости, которую мы назовем поверхностью раздела. Проследим теперь, что происходит с последовательностью волн, переходяющих через поверхность раздела, из одной части тела в другую. Мы можем применить и в нашем случае выведенные ранее законы, в которых функция предполагалась непрерывной, но для этого прерывное изменение нужно заменйть непрерывным, но очень быстрым изменением и только в результатах вычислений совершить переход от непрерывной функции к прерывной.

Рис. 1.

Для всякой последовательности волн величина представляет собою определенную функцию координат поэтому мы можем воспользоваться уравнениями (74) и (75) § 1, согласно которым вдоль всякой замкнутой кривой:

В качестве такой кривой (рис. 1) мы выберем прямоугольный контур со сторонами и причем сторона а меньше и пересекает поверхность раздела по перпендикулярному к ней направлению, а сторона параллельна поверхности раздела. Если постепенно изменять форму прямоугольника, все время уменьшая а, а сохраняя неизменным, то стороны и будут все ближе и ближе Придвигаться к поверхности раздела, в то же время оставаясь в частях тела различными показателями преломления.

Обозначим через единичные векторы, параллельные поверхности раздела, и назовем векторы нормали по обеим сторонам поверхности раздела Тогда вдоль и интеграл, взятый вдоль нашего прямоугольника, будет равен сумме следующих четырех интегралов:

Так как второй и четвертый интегралы при неограниченном уменьшении стремятся к нулю, то в пределе, полагая и переходя к прерывному изменению мы получим:

где есть единичный вектор, лежащий на поверхности раздела. Это уравнение должно быть справедливо для всякого прямолинейного пути, лежащего на поверхности раздела, что возможно только в том случае, если подинтегральные выражения равны друг другу. Следовательно,

Таким образом, найденное равенство должно быть справедливо при переходе от одной из сторон поверхности раздела к другой для любого единичного вектора лежащего на поверхности раздела. Так как равенство относится только к некоторому бесконечно малому отрезку поверхности раздела, то оно должно быть верным как для плоской, так и для кривой поверхности раздела. Уравнение (2) выражает закон преломления для произвольного анизотропного тела. Оно указывает на то, что касательная составляющая вектора нормали при переходе через поверхность раздела между двумя различными средами остается неизменной. Таким образом, уравнение (2) представляет собою не что иное как уравнение для случая прерывного изменения векторного поля

Уравнение (2) можно также Истолковать в том смысле, что вектор перпендикулярен ко всем касательным векторам, лежащим на поверхности раздела, и, следовательно, совпадает с нормалью к поверхности раздела. Мы имеем, следовательно:

где есть единичный вектор в направлении нормали к поверхности в точке падения луча. В таком случае векторы лежат в одной плоскости.