§ 2. Устойчивость и энергия

1. Понятие устойчивости.

Рассмотрим определенное основное движение, т. е. определенное решение уравнений движения. Пуста далее представляет собой второе решение уравнений движения; оно является, как говорят, возмущенным движением. Функции времени называются возмущением основного движения. Если, выбирая в один определенный момент возмущение достаточно малым, можно этим достигнуть того, что величины будут сколько угодно малы по абсолютному значению все время, то основное движение называется устойчивым относительно произвольных возмущений в этот момент времени, а если этот момент времени также может быть выбран произвольно, то оно называется просто устойчивым. Если же только для возмущений удовлетворяющих определенным условиям, возможно выбором достаточно малых значений возмущения в некоторый момент времени достигнуть того, что они всегда будут сколь угодно малы, то основное движение называется "частично устойчивым" или устойчивым по отношению к специальному классу возмущений.

Частным случаем является устойчивость равновесия, где основное движение заменяется положением равновесия системы, следовательно где суть постоянные, Простейшее обобщение положения равновесия есть квазистатическое движение системы со скрытыми координатами, где только видимые координаты остаются постоянными, Если мы хотим оставаться возможно ближе к возмущениям из положения равновесия, то нужно рассматривать такие возмущения квазистатического движения, при которых изменяются только видимые координаты и соответствующие составляющие импульса в то время как составляющие импульса соответствующие скрытым координатам, остаются постоянными, так что изменение функции Гамильтона зависит только от возмущения видимых координат и импульсов.

Под устойчивостью квазистатического движения мы согласно этому понимаем всегда частичную устойчивость по отношению к возмущениям видимых координат и импульсов, при которых, следовательно, остаются невозмущенными, т. е. сохраняют значения соответствующие основному движению. Если мы затем перейдем к квазистатическим движением по Леви-Чивита в смысле 3, то мы будем рассматривать только такие возмущения которые не изменяют значений постоянных интегрирования в интегралах (7) § 1 и которые, следовательно, удовлетворяют условиям:

где как и выше представляют собой уравнения основного движения. Под устойчивостью такого основного движения мы опять понимаем частичную устойчивость по отношению в возмущениям, которые удовлетворяют -условиям (1).