ГЛАВА V. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 1. Основные понятия теории возмущений

1. Общие механические системы.

Если интегрирование уравнений движения гл. II, § 2, (52) по методу Якоби, наложенному в гл. II, § 4, 3, практически невыполнимо, т. е. если не удается ввести "соответствующие" канонические переменные, то во многих случаях бывает возможно разложить функцию Н

на два слагаемых таким обравом, что X есть постоянная, малая по сравнению с 1, и что для системы с гамилмоновой функцией вычисления по методу Якоби могут быть выполнены. В таком случае можно посредством преобразования вида гл. ввести канонические переменные соответствующие функции так что будет зависеть только от величин конечно также и от всех остальных:

Теперь уравнения движения гл. II, § 2, (52) могут быть проинтегрированы с помощью приближенного метода.

Вследствие малости можно считать, что движение рассматриваемой механической системы получается движения системы с гамильтоновой функцией "невозмущенной" системы, под влиянием "малого возмущения". Добавочный член к вызывающий возмущение, т. е. называют функцией возмущения.

После касательного преобразования, приводящего к уравнению (1), уравнения движения опять переходят в каноническую систему уравнений относительно переменных следовательно, принимают вид гл. II, § 4, (12а) причем может быть вычислено из уравнения (1) согласно гл. II, § 4 Следовательно, если в частности уравнения преобразования не содержат времени то согласно гл. II, § 4, (36а), выражение уравнения (1) и есть искомое следовательно, уравнения гл. I, § 4, (12а) имеют вид:

В дальнейшем мы будем главным обравом ограничиваться случаем, когда функция возмущения уже при первоначальных переменных не зависит от времени, когда, следовательно, уравнения движения переходят в уравнения (2) посредством преобразования, не содержащего времени, причем в этом случае зависит только от

Метод вычисления возмущения заключается в том, что решения уравнений (2) пытаются искать в виде степенных рядов относительно При уравнения (2) переходят в дифференциальные уравнения невозмущенного движения гл. II, § 4, (32), где только вместо нужно вставить теперь энергию невозмущенного движения, что для этого движения приводит, согласно § 4, (33), к постоянным значениям и линейно со временем растущим значениям Поэтому для возмущенного движения мы напишем в следующей форме:

При этом представляют постоянных интегрирования в уравнениях невозмущенного движения, обозначенных в гл. II, § 4 (33) через а величины должны быть так определены, как функция от времени, подстановкой выражений (3) в уравнения (2), чтобы уравнения (2) возмущенного движения были удовлетворены. Этот метод называется лагранжевым методом вариации постоянных. Если мы вставим (3) во (2), равложим по степеням X и сравним коэффициенты при равных степенях с обеих сторон, то мы получим ряд дифференциальных уравнений для определения коэффициентов разложений в (3). Решение (3), оборванное на члене с называется

приближенным решением. С помощью этого понятия мы можем описать вывод названных дифференциальных уравнений для несколько нагляднее, если обозначим заключением в скобки и значком результат подстановки -ого приближения в функцию от Вставим сначала в правые части второй группы уравнений (2) нулевое приближение:

Тогда после приравнивания коэффициентов при X с обеих сторон мы получим:

При этом постоянные интегрирования определены таким образом, что движение переходит в певсзмущенное при Под интегралом стоит известная функция от Затем в правые части первой группы уравнений (2) в первый член подставляются вместо первые приближения вычисленные а во второй член — нулевые приближения (4). При этом мы получаем, сравнивая опять коэффициенты при X с обеих сторон:

где нодставлено следующее разложение:

Так как все выражения, в которые вставлено нулевое приближение, являются известными функциями от то из (6) и (5) вытекает:

Следовательно, решения дифференциальных уравнений (2) имеют в первом приближении вид:

где для нужно вставить их выражение и (5). Дальнейшие вычислевия мы расположим наиболее наглядным образом, поступая аналогично методу последовательных приближений. Мы вставим сначала первое приближение (9) в правые части второй группы уравнений (2). С помощью квадратуры мы получим ваорое приближение:

Постоянные интегрирования определяются таким образом, что при состояние системы совпадает с невозмущенным движением (4), которое, следовательно, возникает, если в момент возмущающие силы внезапно исчезают. Его называют невозмущенным движением оскулирующим в момент Описанное приближение можно вести сколь угодно дчлеко. Если мы подставим выражения (10), как вторые приближения, в первую группу уравнений (2) в первые члены справа, а во вторые члены первые приближения (9), то получим после интегрирования:

Точно так же из приближения получается по следующим рекуррентным формулам: