3. Частные случаи колебания системы. Колебания около положений равновесия.

Предположим, в частности, что зависят от потенциала V, являющегося функцией только и что, следовательно, таком случае мы имеем с тем же приближением, как и в уравнении (8):

где Если мы далее предположим, что основным движением является положение покоя, следовательно, положение равновесия, то все и уравнение (4) принимает простой вид:

причем, согласно (3):

представляет собой кинетическую энергию с тем же приближением. Следовательно, малые колебания около положения равновесия могут быть представлены уравнениями Лагранжа с лагранжевой функцией где определяются квадратичными формами (17) и (18). Соответствующее характеристическое уравнение (9) представляет собой в таком случае уравнение степени относительно которое легко сводится к вековому уравнению (19), написанному ниже. Действительно, всегда можно указать такое линейное однородное преобразование величин с постоянными коэффициентами (из которого вытекает такое же преобразование для величин при котором К переходит в сумму квадратов, так как ведь кинетическая энергия выражается положительно определенной формой. Если обозначить новые координаты через то:

В таком случае уравнения движения принимают вид

и поэтому уравнение (9) будет:

В силу соотношения это и будет вековым уравнением для Известно, что все его корни вещественны. Поэтому значения корней для всех а или вещественны (при ) или чисто мнимые (при Следовательно, получаются либо непериодические движения, либо незатухающие колебания. Так как К положительно определенная форма, то, как известно, можно произвести также такое линейное преобразование величин чтобы обе формы (К и V) свелись к суммам квадратов, причем во всяком случае только у одпой, например К, все коэффициенты могут быть сделаны равными 1. Введенные таким образом координаты обозначим . В таком случае:

где положительные и отрицательные постоянные. Теперь уравнения движения принимают вид

а характеристическое уравнение:

Здесь очевидно, что корнн вещественны или мнимы, смотря по тому, имеет ли отрицательное или положительное значение. В частности, если форма V положительно определенна, то все положительны и все чисто мнимые. Это опять приводит к теореме, что около каждого положения равновесия, для которого V имеет минимум (так как для него возможны только малые периодические колебания и, следовательно, оно устойчиво. Если мы опять положим то следовательно, решения уравнений, движения в координатах имеют простой вид:

где произвольные постоянные. Следовательно, частоте соответствуют оба главных колебания:

Следовательно, главное колебание отличается тем, что изменяется лишь одна координата, а все остальные остаются постоянными. Поэтому такие координаты называются главныкн координатами.

Если несколько совпадает, то уравнение (20) имеет кратные корни. Если, например, то получается двойной корень, но одновременно ранг определителя (20) сводится к , потому что все миноры с строками обращаются при в нуль. Соответствующие частоты принадлежат тогда четырем главным колебаниям (вместо двух), а именно:

и

где произвольные постоянные. Тоже самое имеет место в случае многократных корней, которые, следовательно, в задачах о колебаниях около положений равновесия, при отсутствии сил трения, никогда не приводят к движениям, представленным уравнениями (16).

В качестве второго примера рассмотрим колебания системы с одной степенью свободы. При этом уравнения (4) сводятся к уравнению:

В таком случае характеристическое уравнение имеет вид а его корни случае сильного затухания и оба корня вещественны. Рассмотрим подробно только случай малого затухания, когда, следовательно, и движение является колебательным. Пользуясь обозначениями формул (12), мы получим при этом

В таком случае, согласно (14), оба главных колебания имеют вид:

При положительных следовательно, мы инеем затухающее колебание. При оно превращается в незатухающее колебание с частотой поэтому между имеется соотношение:

Следовательно, затухание изменяет частоту только на малые величины второго порядка относительно постоянной Если мы в частности рассмотрим незатухающее колебание то общее решение имеет на основании (24) вид:

Постоянные можно определить, например, задавая для начальное положение и начальную скорость . В таком случае из (26) мы получаем:

Если мы введем вместо другие постоянные А и 8 о помощью ооотношений , то (26) нримет вид:

Полная энергия незатухающего колебания равна Если мы вставим значения из (28) и вычислим среднее во времени, т. е. проинтегрируем по за время полного периода, т. е. от до и разделим на период то для средней энергии колебаний или интенсивности колебания мы получим: