2. Преобразование первичного возбуждения.

Покажем сначала, что и первичное возбуждение можно представить в виде суммы частных решений (5). Мы предпошлем отому теорему о разложении произвольной функции по функциям Бесселя. Эта теорема гласит:

Для наших целей достаточно считать функцией Бесселя порядка но теорема остается в силе для Бесселевых функций произвольного, как целого, так и дробного порядка

Доказательство следует из интеграла Фурье для произвольной функции от двух прямоугольных координат

ср. гл. XIX, § 1, (26). Введем в (8) полярные координаты:

и предположим, что зависит только от

Тогда:

Оба интеграла зависят только от т. е. не зависят от и после введения подходящих переменных интегрирования (например, они оказываются тождественными с интегральным выражением (5) стр. 867 функций Бесселя нулевого порядка т. е. уравнение (8а) совпадает с уравнением (7), которое тем самым доказано. Чтобы доказать такое же равенство для Бесселевых функций произвольного целого порядка нужно положить:

и убедиться, что после подходящих подстановок сокращается с обеих сторон. Конечно, должны так стремиться к нулю при чтобы интеграл Фурье (8) сходился.

Применим уравнение (7) к нашему первичному возбуждению, причем будем считать так что Положив

мы получим из

Второй интеграл справа можно вычислить, если подставить вместо его интегральное выражение (5) стр. 867. В самом деле, если мнимая часть положительна, мы можем написать:

Этот интеграл вычисляется элементарно; он равен

причем вещественная часть корня должна быть положительной. Таким образом

Подставляя в (9), получим

Мы предполагали здесь число комплексным; формула (10) справедлива, однако, и для вещественного если мы условимся брать в ней, при

где корень положителен.

Из формулы (10) легко получить также значение выражения для произвольного з. Для этого надо только добавить под интегралом множитель при при так чтобы правая часть удовлетворяла волновому уравнению. Если мы еще напишем для мы получим:

При помощи (11) мы можем написать выражение (6) целиком в виде интеграла