2. Теоремы сложения.

Применяя метод разложения в ряды, мы после отыскания частных решений должны равложить падающую волну но соответствующим частным решениям. Это осуществляется с помощью некоторых замечательным формул, называемых "теоремами сложения".

a) Плоская волна в цилиндрических координатах. Простейший случай представляет разложение Фурье для по углу Оно содержится в более общем уравнении (10) стр. 872 для и пишется проще всего так:

Доказательство следует из выражения в виде интеграла (5) стр. 867,. которбе как раз имеет вид соответствующего коэффициегта Фурье. Если заметить, что при целом

как это вытекает из того же интегрального представления, то (15) может быть, также написано в виде

b) Плоская волна в сферических координатах. Пусть волна падает в направлении Положим тогда

Эту формулу интереоно сопоставить с (15). Прямое доказательство можно провести так. Если предположить, что произвольное решение уравнения (5), не зависящее от разлагается по частным решениям (13), мы можем прямо написать (полагая ):

Отсюда, по условию ортогональности шаровых функций:

Сравним главные члены асимптотических разложений правой и левой части при После интегрирования по частям, интеграл справа переходит (с точностью до высших членов относительно в

Сравнивая это с асимптотическим выражением в (11а), мы в самом деле получим из (16а)

с) Цилиндрическая волна. Соответствующее разложение для цилиндрической волны (светящаяся линия) в полярных координатах содержится в уравнениях (12а), стр. 874 при и будет, если писать вместо и положить иметь вид

Положив в верхней строчке мы должны получить плоскую волну В самом деле, в силу асимптотических формул (8) стр. 869, мы получим таким путем разложение (15) для плоской волны (с точностью до множителя, зависящего только от ). Этот переход к пределу представляет вместе 45 тем прямое доказательство уравнения (17) при Действительно, так как волновое уравнение удовлетворяется в обеих парах переменных то коэффициент при должен быть частным решением уравнения Бесселя индексом Коэффициент этот, как функция от должен быть

пропорциональным так как разлагаемая функция регулярна при Как функция от он должен содержать множитель вида

Для определения постоянных мы переходим к пределам сравнивая с (15), заключаем, что

Нижняя строчка в (17) получается перестановкой Если написать соответствующее разложение для и сложить его с (17), то получится

d) Шаровая волна. Функция шаровой волны в пространстве согласно уравнению (12), совпадает с Здесь обозначает расстояние от точки наблюдения до светящейся точки Напишем:

тогда

Разложение, аналогичное (17), будет иметь вид:

Это разложение относится к (16) так же, как (17) к (15). В самом деле, положим, т. е. отодвинем светящуюся точку на бесконечность отрицательной оси мы получим тогда плоскую волну (с точностью до множителя). При этом

Учитывая это и припоминая асимптотические выражения (11) для мы видим, что (18) прямо переходит в (16). В этом заключается, опять-таки, прямое доказательство (18).

Складывая с (18) аналогичное уравнение для получим, на основании (10)