14. Теоремы о количестве движения. Общая формулировка.

Отбросим все введенные нами до сих пор ограничения и рассмотрим движение жидкости (не обязательно стационарное) в области ограниченной частью твердыми стенками и частью воображаемыми «контрольными поверхностями", проведенными внутри жидкости. Интегрируя уравнения Эйлера

но области мы получим

Здесь

есть субстанциальное изменение количества движения далее,

есть равнодействующая внешних объемных (массовых) сил, наконец

есть равнодействующая поверхностного давления.

Преобразуя левую часть уравнеиия (41) с помощью теоремы Гаусса и уравнения неразрывности, мы получим

Здесь

есть локальное изменение количества движения жидкости, заключенной в а есть конвекционное изменение количества движения за единицу времени, или перенос количества движения через контрольные поверхности. Действительно, есть количество жидкости, проходящее за единицу времени через элемент поверхности, есть ее количество движения есть избыток количества движения уходящей жидкости над количеством движения входящей. Уравнение (42) можно тогда кратко записать в виде

Сила давления здесь опять распадается на силу на твердой стенке и силу на контрольной поверхности. При этом есть сила реактивного давления жидкости на твердую стенку. Таким образом, эта сила реактивного давления получается равной

Аналогично можно получить и момент сил реактивного давления (реактивный момент) а следовательно, определить и линию приложения этих сих. Для. этого нужно в уравнениях Эйлера составить момент входящих туда векториальных величин и затем просуммировать (проинтегрировать). В результате получается (обозначения, как в 13):

Мы получили, таким образом, для идеальных жидкостей теореиы для количества движения в самой общей форме. мы уже упоминали, эти теоремы остаются в силе и для вязкой жидкости; это видно из следующих соображений. Если учесть силы трения введением добавочных членов в уравнения Эйлера, то

при суммировании силы внутреннего трения, по закопу равенства действия и противодействия, сократятся, тогда как трение на границе даст в уравнении (44) добавочную силу, а в уравнении (45) — добавочный момент сил. Следует также отметить, что локальное изменение количества движения и его момента может обращаться в нудь и для нестационарного течения, как, например, в случае турбулентного движения, когда количество движения жидкости, заключенной в и его момент имеют постоянные средние значения.

С другой стороны, теоремы о количестве движения выполняются лишь при некоторых ограничениях, связанных с тем, что при выводе их применялась теорема Гаусса и уравнение неразрывности. Внутри области не должно быть источников и точек, в которых скорость терпит разрыв или обращается в бесконечность.