3. Тензор деформации.

При упругой деформации в теле изменяются расстояния между его отдельными точками и углы между отрезками. Мерой удлинения отрезка мы будем считать увеличение единицы длины последнего, т. е. отношение удлинения отрезка к его первоначальной длине. Это отношепие мы будем называть удлинением. Изменение углов мы будем измерять разностями углов до и после деформации.

Мы вычислим сначала удлинения отрезков, расположенных до деформации в направлениях, параллельных координатным осям, и изменения углов между такими отрезками, первоначально бывших прямыми. При этом мы ограничимся "малыми смещениями", т. е. такими смещениями, которые вместе со своими производными настолько малы, что их квадратичными выражениями (произведениями двух перемещений Или двух производных и т. п.) можно пренебречь по сравнению с линейными величинами (смещениями или их производными). Итак, рассмотрим две точки лежащие на прямой, параллельной оси х на расстоянии друг от друга. Так как мы рассматриваем только малые смещения, то

длина рассматриваемого отрезка не изменяется от смещений его концов в направлении осей у или Мы должны, следовательно, рассматривать только смещения в направлении оси х. Если и есть смещение точки А в направлении оси х, то смещение точки В будет и Значит расстояние между точками после деформации равно а изменение длины отрезка равно Деля последнее на первоначальную длину получаем удлинение в направлении оси х

Аналогично получаются удлинения в других координатных направлениях, так что

Рассмотрим теперь поворот нашего отрезка в сторону оси у; на него не влияет смещение в направлении осей Если точка А смещается в направлении оси то смещение точки В в том же направлении будет

Так как при малых углах мы можем заменить угол его тангенсом, заключаем, что отрезок поворачивается к оси у на угол Выбирая другой отрезок длины направленный из точки А параллельно оси у, мы имеем смещение точки С в направлении оси х, равное и где и есть смещение точки А. Отрезок поворачивается, следовательно, на угол к оси х. Угол, заключенный между двумя отрезками и первоначально прямой, после деформации уменьшается на сумму обоих поворотов

Обозначая это изменение угла через и проведя аналогичные вычисления для остальных осей, получаем:

Полученные нами величины определяют состояние деформации упруго деформированного тела. Они дают нам удлинения трех отрезков, исходящих из точки А в направлении координатных осей, и изменения углов между ними. Если мы из этих величин сумеем вычислить удлинения и изменения углов для любых трех взаимно перпендикулярных отрезков в точке А, то этим будет доказано, что величины дают полное описание состояния деформации. Это легко можно доказать, если выбрать соответственно трем новым (произвольно выбранным) взаимно перпендикулярным отрезкам систему осей координат V

им параллельных. Пусть суть направляющие косинусы осей в системе координат х, у, z. Тогда координаты точек йчкрмпонеиты смещения преобразуются по одинаковым формулам; пусть есть компоненты смещения относительно, новых осей. Тогда

Производя вычисления по формулам:

и введя обозначения

мы получаем:

Мы видим, что формулы для вычисления компонентов смещения вполне совпадают с найденными нами выше формулами преобразования напряжений. Отсюда перенося результаты, полученные нами для последних, на деформации, мы получаем следующее предложение: в каждой точке существуют три взаимно перпендикулярных направления, относительно которых компоненты деформаций с различными значками обращаются в нуль. Эти направления носят название главных осей деформации и после деформации остаются перпендикулярными друг к другу.

Пусть соответствующие удлинения, называемые главными удлинениями, расположенные в порядке убывания, суть Тогда есть максимальное, а минимальное из удлинений в каком-либо направлении. Формулы (15) принимзют особенно простой вид, если за первоначальную систему координат примем направления главных осей деформации. Обозначая через

направляющие косинусы главной оси относительно первоначальных осей, мы получим:

Так же как и для напряжений, коэффициенты в уравнении, определяющем главные удлинения:

будут так называемыми инвариантами деформированного состояния