2. Простые задачи о стационарных полях тока.

Законы поля электрического тока находят простейшее применение в том случае, когда металлический проводник с проводимостью которая принята равной бесконечности, помещен в бесконечно протяженную однородную проводящую среду с проводимостью X, например, в землю, и ток переходит из металла в землю. В связи с наличием сопротивления току у земли появляется разность потенциалов между металлом ("электродом") и удаленными точками земли. Вычисление этой разности потенциалов имеет практическое значение.

Если есть плотность тока, проходящего через поверхность, то

есть нормальная составляющая напряжения поля во внешней среде, в то время — как в металле напряжение поля равно нулю. Вследствие непрерывности касательная составляющая равна нулю вдоль пограничной поверхности также и в наружной области, поэтому электрическое поле в наружной области ведет себя как электростатическое поле. На пограничной поверхности образуется

электрический заряд с плотностью и поэтому полный заряд есть

где означает полный выходящий из металла ток. Наконец, если электростатическая емкость проводника по отношению к бесконечности есть С, то падение напряжения по отношению к отдаленным точкам есть

Следовательно, в случае сферы радиуса ,

Небольшое видоизменение этих соображений приводит к случаю, когда металлический электрод, подводящий к земле ток, помещен на поверхности земли (например, электрод полушаровой формы). В этом случае нормальная составляющая тока вдоль поверхности земли должна равняться О. С помощью отражения в поверхности земли можно свести этот случай к предыдущему, при этом однако необходимо удвоить силу тока и, следовательно, считать ее равной При этом под мы теперь подразумеваем емкость полного тела, получающегося при отражении (например, а в случае полушария радиуса а). Тогда

Множитель или называется сопротивлением заземления электрода. В применениях электроды, имеющие форму пластин или стержней, заменяются обычно эллипсоидами или полуэллипсоидамн с подходящим отношением главных осей, и после этого применяются формулы, выведенные ранее (гл. XV, § 2, 2) для емкости эллипсоида.

Большое значение имеет, например, тот случай, когда электрод представляет собой малый круговой диск радиуса касающийся поверхности земли. По формулам гл. XV, § 2, 2, емкость кругового диска ; следовательно, сопротивление заземления в этом случае равно