11. Свободная поверхность вращающейся жидкости. Фигуры равновесия.

Если жидкость вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси (оси ), то можно ввести координатную систему, вращающуюся вместе с жидкостью, и рассматривать центробежную силу как внешнюю объемную силу. Условие относительного равновесия жидкости напишется тогда

Здесь есть потенциал центробежной силы, а -потенциал внешних сил.

Если действует только сила тяжести в направлении, обратном оси , то условие равновесия однородной жидкости будет

Поверхности равного давления суть параболоиды вращения вокруг оси з, один из которых является свободной поверхностью. Такой же вид будут иметь поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей различной плотности.

Значительно интереснее вопрос о форме свободной поверхности тяжелой жидкости, вращающейся не в ноле земного тяготения, а подверженной только собственной гравитации. Изучением подобных фигур равновесия, очень важных для астрономии и, в особенности, для космогонического вопроса о форме небесных тел и их развитии, занимался ряд лучших математиков в течение почти двух столетий. Несмотря на то, что уже получено много изящных результатов и методы исследования высоко развились особенно за последние десятилетия, На многие основные вопросы ответа еще не получено. Различные физические исследования, вроде опыта Плато, который вращал шарик из масла в жидкости с той же самой плотностью и тем самым нейтрализовал силу тяжести, не могут давать никаких указаний относительно фигур равновесия вращающихся масс. Дело в том, что, например, для масляной капли Плато основную роль играют силы поверхностного натяжения. Впрочем, существуют и теоретические исследования о фигурах равновесия Плато.

При исследовании фигур равновесия гравитирующей жидкости, которую для простоты обычно полагают однородной, естественно постараться прежде всего решить вопрос о существовании эллипсоидальных фигур равновесия. Вопрос этот может быть сведен к теории потенциала для однородного эллипсоида. Этот потенциал есть квадратичная функция координат точки

Здесь величины внутри эллипсоида постоянны, а для внешних точек они зависят еще от одного параметра, который имеет одинаковое значение во всех точках эллипсоида, конфокального нашему однородному эллипсоиду.

В частности, для точек на поверхности однородного эллипсоида полный потенциал со включением потенциала центробежной силы есть также квадратична функция от координат. Следует определить размеры эллипсоида таким образом, чтобы эта квадратичная функция имела, в силу уравнения эллипсоида, во всех точках свободной поверхности одно и то же значение. Тогда свободная поверхность будет поверхностью равного потенциала, а виачит рассматраваемый эллипсоид будет фигурой равновесия.

Этим путем приходят в двум различным типам эллипсоидальных фигур равновесия. Первый из этих типов открыт Маклореном, а второй сто лет спустя Якоби.

Эллипсоиды Маклорена суть сплющенные эллипсоиды вращения. Возможные фигуры равновесия этого рода для данной массы жидкости образуют линейный ряд, который начинается от шара и при возрастании сплющивания переходит в диск, толщина которого в направлении оси вращения стремится к нулю, а диаметр к безконечности. При этом угловая скорость вращения возрастает от нуля до некоторого максимального значения, а затем опять спадает до нуля. Для каждой скорости вращения, меньшей максимальной, имеются две маклореновых фигуры равновесия, а для скорости, большей максимальной — ни одной.

Якобиевы эллипсоиды суть трехосные эллипсоиды и они также образуют линейный ряд. Этот ряд начинается от эллипсоида вращения и кончается эллиптическим цилиндром. Скорость вращения при этом понижается от некоторого начального значения до нуля. Существенно отметить, что начальная фигура ряда якобиевых эллипсоцдов — эллипсоид вращения — и геометрически и механически принадлежит к ряду маклореновых эллипсоидов. Последний ряд имеет, следовательно, меото разветвления, в котором от него ответвляется ряд якобиевых эллипсоидов.

Из результатов новейших исследований одним из наиболее существенных является открытие Ляпунова и Пуанкаре. Эти ученые нашли, что кроме двух вышеупомянутых рядов эллипсоидальных фигур равновесия существует еще бесконечное множество линейных фигур равновесия, связанных друг с другом в местах разветвлений. Например, ряд, ближайший к обоим рядам эллипсоидов, есть ряд грушевидных тел, ответвляющихся от ряда якобиевых эллипсоидов.

Весьма существенным является, далее, вопрос об устойчивости фигур равновесия; именно тогда, когда, исходя из знания линейных рядов и их связи, хотят сделать заключения о возникновении небесных тел. Достоверных результатов очень трудных исследований мы имеем немного; ряд маклореновых эллипсоидов устойчив, по крайней мере, до того места, в котором от него ответвляется якобиев ряд; устойчива также часть ряда якобиевых эллипсоидов.

Напротив, относительно фигуры равновесия, от которой ответвляются грушевидные фигуры Пуанкаре, окончательно доказана неустойчивость. Впрочем, не следует упускать из виду то обстоятельство, что в действительности для устойчивости фигуры равновесии весьма существенно также внутреннее трение жидкости.

Наряду С фигурами равновесия свободной гравитирующей массы, интерес исследователей давно привлекали к себе фигуры равновесия гравитирующей массы в поле тяготения другой массы. Так, Лаплас при исследовании возможной формы луны пришел к трехосному эллипсоиду, мало отличающемся от шара. Данный Лапласом приближенный метод расчета в наше время уже не может быть признан удовлетворительным; однако, лучшие методы привели к тому же результату и к доказательству устойчивости. Более общими является эллипсоиды Роша

(Roche), которые представляют фигуры равновесия массы жидкости, вращающейся как твердое тело вокруг близкого или далекого центра притяжения. Также и изучение проблемы двойных звезд за последнее время значительно продвинулось вперед.

Наконец, система колец Сатурна дала толчок к исследованию кольцеобразных фигур равновесия. Последние были наблюдены и на других объектах звездного неба, а именно в некоторых космических туманностях. Впрочем, эти массы газа не вращаются с постоянной угловой скоростью, как твердое тело, так же точно, как и система колец Сатурна, раздробленное состояние которых ныне твердо установлено. Кольцеобразные фигуры равновесия идеальной жидкости не имеют поэтому космогонического значения. Что такие фигуры равновесия, центральным телом или без него, могут, в чисто математическом смысле, существовать — этого отрицать нельзя. Но едва ли можно говорить об устойчивости такого рода образований.

При исследовании фигур равновесия, с гидростатической задачей, встретившейся впервые в работах Маклорена, нераздельно связаны гидродинамические вопросы.

Все исследования устойчивости носят гидродинамический характер, безразлично, сравниваются ли свойства некоторой фигуры со свойствами бесконечно близких фигур, или же допускаются возмущения любого вида. Независимо от вопросов устойчивости, в середине предыдущего столетия Дирихле, Риман, Дедекинд и другие авторы произвели исследования над массой жидкости с переменной формой поверхности (эллипсоидальной). Замечателен ряд эллипсоидов, данных Дедекиндом, внешняя форма которых совпадает с якобиевыми, тогда как внутри происходит движение.