3. Следствия из минимальных свойств.

Из минимальных свойств можно вывести некоторые следствия о фундаментальной функции, соответствующей наименьшему характеристическому числу; эти свойства мы и приведем здесь. Мы докажем прежде всего, что первая фундаментальная функция не имеет узловых линий, т. е. что она внутри области занимаемой мембраной, нигде не обращается в нуль. Первая фундаментальная функция обращает интеграл в минимум при добавочном условии:

Мы покажем, что для любой фундаментальной функции, имеющей узловые линии, существует соседняя функция для которой, при неизменном интеграл меньше, чем

Тем самым наша теорема будет доказана, так как тогда эта фундаментальная функция заведомо не является решением вариационной задачи для первой функции.

Мы видели выше, что узловая линия всегда отделяет области с положительным значением от областей с отрицательным значением Мы будем обозначать области, в которых положительно, через I, а области, в которых оно отрицательно, через И. Заменим функцию ее абсолютным значением:

т. е. всюду, где отрицательно, заменим ее знак на обратный. Интегралы для и очевидно имеют одинаковое значение, так как эти функции и их производные в входят только квадратичным образом.

Для того чтобы найти такую функцию которая при заданном значении

дает минимальное значение нашего интеграла, такое, что везде

представим в виде

где какие-либо функции, обращающиеся в нуль на границе, имеющие непрерывные нервые производные; суть два параметра, которые будут:

выбраны впоследствии надлежащим образом. Они ограничиваются требованием, чтобы чтобы

или

Если в заданы, то мы можем изобразить допустимые значения на плоскости Они лежат на эллипсе, проходящем через начало координат, если функции выбраны так (что всегда можно предположить), что не равны нулю одновременно. Заметим здесь же, что при этом условии можно всегда найти сколь угодно малые значения удовлетворяющие (37).

Вычисляя интеграл мы имеем:

Преобразуя второй интеграл правой части интегрированием по частям (при - этом следует рассматривать область, запятую мембраной, как совокупность областей получим:

где обозначают границы областей I и II.

Так как на границе мембраны то интегралы в (39) надо будет брать только вдоль узловыхлиний, отделяющих области друг от друга. Так как получается из первоначальной функции изменением знака в области II на положительный, то нормальная производная от претерпевает скачок вдоль узловой линии. Поэтому части контурных интегралов, распространенных по границе областей I и II, не сократятся друг с другом. Принимая еще во внимание, что будем иметь:

Вычитая отсюда уравнение (37), умноженное на получаем:

Выберем настолько малыми, чтобы квадратичные члены выражения не оказывали влияния на его знак. Тогда знак этой разности определяется знаком контурного интеграла. Так как знаки могут быть одновременно изменены на обратные, то знак правой части может быть сделан каким угодно соответствующим подбором достаточно малых значений . Иначе говоря, мы можем всегда найти функцию которой при одинаковом что и требовалось доказать.

Из доказанного выше мы можем заключить, что первому характеристическому числу соответствует только одна фундаментальная функция. Если бы имелось, например, две таких фундаментальных функции, то разность их должна была бы быть также такой фундаментальной функцией. Но так как то не может быть повсюду меньше или больше, чем Разность являлась бы, следовательно, фундаментальной функцией, имеющей узловые линии. Но, согласно сказанному выше, такая фундаментальная функция не может соответствовать наименьшему характеристическому числу.