10. Волны Рэлея.

С точки зрения развитой нами теории отражения волн, очень легко подойти к анализу волн Рэлея.

Представим себе подвижную систему координат к), движущуюся поступательно в направлении оси х о некоторой скоростью

Пусть в нашей среде действовал источник колебания, и продольный потенциал складывается из падающего потенциала вызванного этим источником и определяемого формулой (35), и отраженного потенциала определяемого формулой (39). Поперечный потенциал определяется формулой (40). Функции и свяваны соотношениями (48).

Попробуем дать асимптотическую оценку вектора смещения при ограниченных возрастающем до бесконечности. Эта асимптотическая оценка даст нам картину движения с точки зрения подвижного наблюдателя в поздние моменты времени в далеких точках.

Из формул (35), (39) и (40) вытекают выражения для составляющих вектора смешения

Попробуем дать разложение величин в ряд Лорана по отрицательным степеням

Если воспользоваться уравнениями, служащими для определения то мы в помощью простых выкладок получим для них следующие асимптотические выражения:

откуда вытекает, что

а также

Если не совпадает с то есть не является корнем уравнения Рэлея (71) § 1, то при возрастании в стремится и так как функции при -ограничены, а коэффициенты стремятся к нулю, как, то мы видим, что смещения при возрастании также стремятся к нулю.

Если же наблюдатель будет двигаться со скоростью волн Рэлея , то он увидит нечто принципиально иное.

Действительно, при обе функции имеют, вообще говоря, полюс, так как знаменатель в правых частях формул (48) обращается в нуль. При стремлении к бесконечности, будет стремиться и, следовательно, будут неограниченно расти. Здесь мы, очевидно, не можем утверждать, что смещение будет затухать. Рассчитаем все явления подробно.

Благодаря тому что мы имеем, пользуясь (95),

Пользуясь (98) и подставляя (48) в (94), мы получим, ограничиваясь членами, свободными от

(см. скан)

Таким образом с точки зрения наблюдателя, движущегося параллельно поверхности со скоростью Рэлея, явление не затухает, а стремится к некоторой стационарной картине. Если сравнить полученные нами формулы с результатами § 1, то мы видим, что главное слагаемое в формулах (99), дающее незатухающую волну, идущую со скоростью представляет комплексную плоскую волну, которую обычно называют волной Рэлея. Это слагаемое представляет собой частный случай плоской комплексной волны Рэлея, разобранной нами выше, который получается из общего при частном предположении о функции входящей в формулы § 1.

Наши результаты объясняют, таким образом, появление волн Рэлея при землетрясениях.

В следующем параграфе мы остановимся на этом подробнее. Весь анализ, проведенный нами для случая отражения продольных волн при комплексном потенциале, может быть перенесен почти без изменения на все остальные случаи. Мы предоставляем проделать это читателю.

В этом параграфе, так же как и в теории отражения плоских волн, мы совершенно не останавливались на разборе простейших задач, как задачи о линейно-поляризованных поперечных волнах и т. д. Рассуждения, которые мы провели, без всякого труда распространяются и на эти случаи. Мы предоставляем это сделать читателю.