10. Задача Лэмба.

Задача отличается от задачи о точечном источнике только тем, что здесь мы имеем дело не с неограниченным пространством,

а с полупространством, и точечный источник, имеющий характер мгновенного импульса, расположен на границе этого полупространства.

С целью решения этой задачи, рассмотрим сначала задачу о внутреннем импульсе, а затем перейдем к пределу, когда точка приложения импульса стремится к границе среды.

Пусть мгновенный импульс величины направленный по оси у, приложен в точке при

На основании результатов предыдущего параграфа потенциалы падающих волн будут иметь вид:

Согласно § 3, мы получим для отраженных потенциалов формулы:

где

и

(см. скан)

Обозначен через переменные, удовлетворяющие уравнениям:

При стремлении параметра в нулю, стремится к

Очевидно, что после перехода в пределу потенциал будет складываться из двух слагаемых:

а потенциал из двух слагаемых

где

Нетрудно теперь привести эти формулы к более компактному виду. Для этого отметим, что функция сопряжена с сопряжена с Поэтому

так как, кроме того, есть функция, при нашем понимания, чисто мнимая при вещественном значении 0, то формулы (89) и (90) заменяютоя через

где

или

Формулы (93) и (94) и дают решение задачи Лэмба. Самим Лэмбом указаны лишь выражения составляющих смещения в точках поверхности.