5. Введение волн, соответствующих движению точки.

Рассмотрим теперь движение некоторой материальной точки с массой Обозначим ее прямоугольные координаты через х, у, z. В этом случае и на основании гл. I можно произвести сравнение между кривыми, изображающими движение материальной точки в и -мерном пространстве и световыми лучами. Так как то согласно § 1, (29), мы получим:

где

Тогда дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона (30), которое мы также можем рассматривать как уравнение эйконала для световых лучей, примет вид:

Решение этого уравнения можно найти с помощью (37), положив

где удовлетворяет ур-нию (36), т. е. в нашем случае — уравнению:

Тогда волновым поверхностям в оптике будут соответствовать, согласно 1, поверхности в четырехмерном пространстве. В этом случае каждая из таких поверхностей (с определенной постоянной) изображает движение некоторой поверхности в трехмерном пространстве х, у, z, так как при каждому значению соответствует уравнение такой поверхности. Сравним теперь эти поверхности с волновыми поверхностями геометрической оптики и найдем волновую скорость.

Направление определяет направление волновых нормалей. Таким образом, единичный вектор в этом направлении равен

Если обозначить волновую скорость как и прежде, через то перемещение волновой поверхности за время будет равно Следовательно,

Так как то из (44) следует, что при изменении на в выражении на

или, согласно (47),

Таким образом, мы получим из (45):

Итак, траектории можно рассматривать как световые лучи в изотропной, но неоднородной среде.

Скорость луча равна волновой скорости и в какой-либо точке силового поля определяется выражением (48). Эта скорость обратно пропорциональна скорости движущейся материальной точки, что следует на (42), (42а) и из равенства