§ 2. Теплопроводность и диффузия при вынужденной конвекции

1. Теплопроводность при течении жидкости без трения.

Охлаждение тела обтекающей жидкостью. Поставим себе следующую задачу. В жидкости удерживается на месте твердое тело, нагреваемое какими-либо источниками тепла. Жидкость имеет на бесконечности постоянную температуру и движется по законам невязких и несжимаемых жидкостей.

Пусть коэффициент теплопередачи на границе жидкость — твердое тело настолько велик, что температуру жидкости и твердого тела на поверхности раздела можно считать, согласно § 1, 1, одинаковой.

Пусть коэффициент расширения жидкости настолько мал, что можно считать постоянным, и поэтому можно с небольшой ошибкой принять, что линии тока нагретой жидкости существенно не отличаются от тех, которые мы получили бы из уравнений гидродинамики для равномерно нагретой жидкости. Предыдущие предположения хорошо подтверждаются соответствующими опытами.

Требуется найти распределение температуры в стационарном состоянии и отдачу телом тепла обтекающей его жидкости. Мы ограничиваемся здесь двухмерной задачей, т. е. считаем, что твердое тело имеет форму очень длинного цилиндра с произвольным сечением, а жидкость повсюду течет перпендикулярно оси цилиндра.

Дифференциальное уравнение (4) § 1 гласит в этом случае:

Введен вместо х и у новые переменные при помощи формул преобразования

есть не что иное как потенциал скоростей, постоянный вдоль эквипотенциальных линий, а "функция тока", постоянная вдоль линий тока. Эта координатная система ортогональна и удовлетворяет, как известно и из гидродинамики, уравнениям:

Вводя эти новые переменные, мы подучим, как легко можно показать простым дифференцированием, согласно (2):

так что, подставляя в (1), получим:

Специализируем это уравнение еще дальше, на тот случай, когда теплопроводность жидкости достаточно мала. Так как теплопередача в направлении происходит путем внутренней теплопроводности и конвекции, а в направлении только первым путем, то мы можем пренебречь внутренней теплопроводностью в направлении по сравнению с конвекцией, т. е. отброзшь член в уравнении (4). Тогда мы получим

Дадим теперь решение этого дифференциального уравнения, такое, что на поверхности тела и есть заданная функция (места), постоянно вдоль поверхности тела; так как определено лишь с точностью до аддитивной постоянной, то можно положить на поверхности тела. Тогда для На бесконечности везде должно быть

Дифференциальное уравнение (5) формально совпадает с уравнением (1), гл. ХIII, § 2, для линейной теплопроводности в твердом теле, если отождествить

Наши граничные условия соответствуют тогда следующим условиям: для и есть заданная функция Но эта задача разрешена в общем виде в гл. ХIII, § 3, 3. Возвращаясь снова в нашей задаче, мы получим решение, согласно формуле (61) этого параграфа:

где начальная точка отсчета представляет нулевую точку температуры. Количество тепла, отдаваемое телом жидкости в единицу времени на единицу поверхности, есть

что дает после дифференцирования:

Таким образом, формула показывает, что исходящий из единицы поверхности тела поток тепла пропорционален температуре тела в этом месте. Итак, охлаждение твердого тела обтекающей его жидкостью есть процесс, для которого верен закон охлаждения Ньютона [гл. ХIII, § 1 (7)]. Мы видим, что принятие этого закона для теплоотдачи через поверхность нагретых твердых тел в гл. ХIII может быть оправдано при некоторых обстоятельствах и точной теорией, если пренебречь тепловым

излучением. Однако, коэффициент пропорциональности который мы назвали внешней теплопроводностью, ни в какой мере не является постоянной, характерной для вещества, так как он содержит еще зависит и от формы поверхности и от скорости потока, и притом сложным образом, чем и объясняется необычайное расхождение результатов экспериментального определения в зависимости от примененного способа. Те же рассуждения, разумеется, Остаются в силе и для теплопередачи на границе двух жидкостей.

Примем, например, что наше тело есть круговой цилиндр радиуса В. Пусть на бесконечности Уравнения линий тока, если ось цилиндра проходит через начало координат, гласят (ср. гл. X, § 3):

При этом постоянные следует определить так, чтобы, при обращалось в нуль, отсюда Так как вследствие малой внутренней теплопроводности жидкости температура для положительных х существенно не отличается от температуры на бесконечности, которую мы приняли за нуль (даже на очень небольшом расстоянии от поверхности), то можно с небольшой ошибкой выбрать так, чтобы при было откуда и

Подставив эти значения в (6), мы получим полное решение для случая кругового цилиндра. Если желательно знать, сколько тепла теряет весь цилиндр на единицу своей длины в секунду, когда вся его поверхность поддерживается при одинаковой температуре то надо проинтегрировать (7) по по всей окружности, что дает, в силу симметрии.

Здесь и экстремальные значения на поверхности, равные по и Таким образом,

или, в среднем, на единицу поверхности:

откуда видно, что в данном случае внешняя теплопроводность обратно пропорциональна корню из радиуса цилиндра, т. е. что тонкий цилиндр, при прочих равных условиях, охлаждается быстрее, чем толстый.