§ 8. Некоторые сведения из статистической механики

1. Относительное время пребывания; виртуальные множества.

Рассмотрим теперь -кратно импримитивную систему. Постоянные однозначных интегралов § 7, (3) определяют -мерный конечный объем полностью "заполняемый" всеми фазовыми кривыми, для которых постоянных имеют значение Всякая точка этого объема определяется значениями координат а координаты можно вычислить из (3) § 7. Пусть элементарная область состояний фазового пространства, содержащая эти точки, определена элементом:

Необходимо иметь в виду, что не есть величина элемента объема (см. 2), так как область, определенная равенством не "плоская". Область состояний, определенную уравнением (1), мы будем коротко называть: "состоянием

Изменение состояния происходит по уравнениям движения § 2, (52), которые в наших теперешних обозначениях принимают вид:

Это выражение можно также толковать как поток в фазовом пространстве; каждой точке соответствует скорость с составляющими Предположим, что мы следим за движением системы в течение времени Вычислим сумму всех элементов времени, в течение которых система находится в области состояний (1). Отношение этой суммы к общему времени мы будем называть относительным временем пребывания системы в состояпии Если это отношение стремится к некоторому пределу при неограниченном возрастании У, то мы будем говорить о "вероятности нахождения системы в состоянии Мы будем предполагать, что отношение только что определенной вероятности фазовой точки к неограниченном убывании стремится к определенному предельному значению:

Таким образом,

Интегрируя (3) по всему -мерному объему [см. § 7, (3)], мы, на основании определения получим следующее соотношение:

Итак, наша задача состоит теперь в том, чтобы определить функцию входящую в уравнение (3).

Разобьем общее время наблюдения на равных промежутков времени и рассмотрим совокупность состояний (фаз) механической системы, соответствующих точкам деления Представим себе, что каждая из этих фаз осуществляется некоторым экземпляром системы, т. е. системой, совершенно

тождественной с начальной системой, находящейся как раз в этой фазе. Таким образом мы заменяем фазы, через которые с течением времени проходит начальная система, т. е. так называемое временное множество совокупностью экземпляров системы, одновременно находящихся в этих фазах. Такая совокупность экземпляров обычно называется виртуальным множеством. Движение каждого экземпляра описывается уравнениями (2). Фазы виртуального множества в определенный момент времени совпадают с фазами исходной система в моменты, отделенные друг от друга промежутками Легко видеть, что число систем виртуального множества в определенной области состояний (1) не изменяется со временем, так как хотя отдельные системы и изменяют свое состояние, однако в каждый момент времени в данную область состояний входит столько же систем, сколько из нее выходит. Такое распределение виртуального множества называется стационарным.

Для доказательства разделим заполненное фазовыми кривыми пространство на ячейки и перенумеруем их в каком-либо порядке. Отложим на оси времени промежутки времени, в течение которых фазовая точка проходит различные фазовые ячейки, и припишем каждому промежутку номер соответствующей ячейки. Очевидно, что последовательность номеров ячеек будет соответствовать последовательности их прохождения. Если исходную систему изобразить точкой на прямой то для того, чтобы время пребывания точки в каждом промежутке было равно времени пребывания в соответствующей ячейке, необходимо, чтобы она двигалась по прямой времени с постоянной скоростью, равной единице. Пусть теперь каждому экземпляру нашего виртуального множества соответствует точка на прямой Очевидно, что эти точки точно так же должны двигаться по прямой времени со скоростью, равной единице; однако, фазы различных экземпляров не одинаковы и поэтому они будут выходить из ячейки I в различные моменты времени. Так как фазы экземпляров отличаются друг от друга на постоянную величину им будет соответствовать ряд равноотстоящих друг от друга точек прямой движущихся со скоростью, равной единице. Отсюда следует, что распределение нашего виртуального множества по ячейкам не будет изменяться со временем. В течение определенного элемента времени в данный промежуток на прямой будет входить и выходить одинаковое число точек. Таким образом, распределение "стационарно". Однако из нашего построения можно получить еще несколько заключений. Так как точки, изображающие виртуальное множество на прямой образуют равноотстоящий ряд, то число их в данном интервале состояний на прямой пропорционально длине этого интервала, т. е. число экземпляров в определенной фазе пропорционально времени пребывания исходной системы в этой фазе. Поэтому функция с точностью до некоторого постоянного множителя [который можно определить с помощью условия нормировки (4)] может рассматриваться как относительная частота определенной фазы в введенном нами виртуальном множестве. Однако из стационарного характера распределения следует, что если система в момент времени находилась в фазе а в момент времени в фазе то условие неизменности числа систем нашего виртуального множества можно выразить соотношением:

где представляет собой фазу, образующуюся из фазы по уравнениям движения (2).

Таким образом, свойство (5) является характерным для функции следовательно, им можно пользоваться для ее определения. Оно выражает, что число

систем в области состояний равно числу систем если получается из посредством уравнений (2). Интегрируя по конечному объему или по объему который объем переходит согласно (2), мы получим:

Таким образом, выражение представляет собою интегральный инвариант, причем этот вывод предполагает лишь существование интегралов § 7, (3); следовательно, этот инвариант зависит от постоянных