15. Теплопроводность стержня.

Перейдем теперь к общей задаче в трех измерениях. Замечательное упрощение задачи мы получим, когда тело имеет форму стержня, поперечные размеры которого малы по сравнению с его длиной. Это — случай, часто встречающийся на практике.

При этом, мы не обязаны рассматривать прямой стержень, он может иметь произвольно искривленную форму, в частности может замыкаться, образуя кольцо

Мы примем, что сечение по всей длине стержня имеет одну и ту же величину и форму; пусть площадь сечения равна а периметр его Черев соответствующие точки, например, центр тяжести всех сечений, проводим ось стержня и наносим на ней масштаб. Будем отсчитывать длину I в выбранном масштабе вдоль этой линии от какой-нибудь произвольной начальной точки, элемент этой длины назовем Внешняя теплопроводность в среду с температурой нуль пусть имеет место на всей поверхности. Мы попытаемся учесть эту внешнюю проводимость уже в дифференциальном уравнении теплопроводности. С этой целью выделим из стержня некоторую часть двумя сечениями на расстоянии друг от друга, тогда объем ее до величин высшего порядка малости равен Боковая поверхность этого элементарного цилиндра равна Уравнение теплового баланса в этом элементарном объеме (аналогично § 1, 2) имеет вид:

или, если и рассматривать только в зависимости от длины вдоль оси:

Введем сюда вместо и новую переменную с помощью подстановки

тогда (98) переходит в дифференциальное уравнение для

формально тождественное с уравнением (1). Посредством этого приема задачи о тонком стержне с учетом внешней теплопроводности удается свести в известным задачам и изучить их методами, изложенными в § 2, 1; § 3,1, 3,4, 5.

Особенно проста стационарная вадача. Положив в сведем ее к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения:

тождественного с уравнением упругого колебания и имеющего общее решение

где для сокращения положено Постоянные находятся из граничных условий. Пусть, например, при и при тогда мы получим

На этой формуле основан простой метод определения теплопроводности.

На обоих концах стержня из исследуемого материала при помощи паровой бани, текущей воды или льда поддерживаются постоянные температуры и по прошествии некоторого времени ивмеряется — посредством термометра или термоэлемента — температура вдоль стержня. Польвуясь формулой (103), можно в таком случае определить если известно из другого опыта, также а и k.

Как упомянуто выше, можно предположить, что стержень вамкнут, тогда мы имеем дело с задачей теплопроводности в очень тонком кольце произвольной формы. Периметр кольца, измеренный вдоль его оси пуоть равен Мы должны искать очевидно периодическое относительно I решение дифференциального уравнения (98). Действительно, для того чтобы и было одновначной функцией положения на кольце, надо, чтобы с увеличением аргумента на функция и всегда принимала прежнее вначение.

В § 2, 1, мы познакомились с частными решениями

дифференциального уравнения (100); подставляя их в (99), получим для и:

где для сокращения положено

Чтобы эти функции были периодичны по I с периодом надо, чтобы X имело одно из вначений

где произвольное число.

Из (104) с произвольными после суммирования по мы получим соответствующее общее решение:

Это решение мы можем приспособить к любому начальному условию обычным способом, выбирая соответственно так, чтобы они были коэффициентами Фурье разложения функции в ряды по синусам и косинусам. Такии образом, мы имеем общее решение нашей вадачи. Для везде так как все тепло ушло наружу. Для очень больших мы можем в (107) пренебречь всеми членами по сравнению с нулевым и первым, так как показатель очень сильно возрастает с увеличением . Это дает:

Измеряя температуру и в двух точках кольца, отстоящих друг от друга на половине периметра, например, в точках и получим из (108):

Измеряя зависимость этих выражений от времени, мы можем определить показатели обеих степеней и тем самым а следовательно, измерить внешнюю внутреннюю теплопроводности

16. Охлаждение призмы. Если стержень имеет прямоугольное сечение, то можем рассматривать вадачу теплопроводности в общем виде без пренебрежений, сделанных в предыдущем параграфе. Рассматриваемое тело — однородный и изотропный параллелепипед, ребра которого параллельны трем координатным осям . Мы ищем, следовательно, решение дифференциального уравнения (13) § 1:

при условиях

на ограничивающей поверхности. Решение ищем в виде:

где обозначают соответственно функции только от Тогда, согласно § 2, 1:

и для имеем дифференциальное уравнение

которое должно выполняться для всех значений х, у, z, что возможно только тогда, когда все три члена в левой части уравнения порознь равны некоторым постоянным, которые мы обозначим через соответственно. Между X существует соотношение:

Функция X должна, следовательно, удовлетворять дифференциальному уравнению:

решение которого мы пишем в виде:

Аналогично выражаются функции

Примем, что одна из вершин параллелепипеда лежит в начале координат и ребра имеют длины

Тогда, согласно (111), имеют место следующие граничные условия:

Благодаря этому (115) получает следующий вид:

где произвольно, есть корень трансцендентного уравнения:

Аналогичные выражения имеем для

Рис. 66.

Трансцендентное уравнение (117) имеет бесчисленное множество вещественных корней, в чем легко убедиться путем следующего геометрического рассуждения, позволяющего также вычислить эти корни. Положим:

и вычертим обе функции от в одной и той же координатной системе (рис. 66); есть гипербола с центром в начале координат и асимптотами

а есть иввестная кривая для Очевидно, обе кривые имеют бесчисленное множество точек пересечения, причем с отрицательной стороны они те же по абсолютной величине, что и с положительной стороны. Значения соответствующие этим точкам пересечения, суть корни трансцендентного уравнения (117); из них следует принять во внимание лишь положительные, ибо, как видно из (116), Представим себе корни расположенными в ряд по величине и обовначим их черев Аналогично получаем

Теперь мы получим общий интеграл и уравнения (110) обычным путем, подставив в выражения (113), (116) все возможные значения X, снйбдив их произвольными коэффициентами и трехкратно просуммировав (112):

Теперь надо еще выполнить начальное условие, что всегда можно сделать, если функция разлагается в ряд вида:

Коэффициенты А в тех случаях, когда это разложение возможно, вычисляются с помощью свойств ортогональности методом, сходным с методом Фурье.

Это решение и решение подобных задач об охлаждении нагретых тел путем излучения имеет для техники большое значение. Так, например, можно по изложенному методу вычислить скорость охлаждения в какой-либо точке параллелепипедообразной отливки. Для тел других форм при аналитическом исследовании мы наталкиваемся, вообще говоря, на большие трудности, за исключением случая шара, который допускает рассмотрение, подобное § 3, 1. Подобный же метод применим также к эллипсоиду.