8. Решение общей задачи теории упругости для полупространства в плоском случае.
Для решения общей задачи теории упругости применим формулу Грина-Вольтерра к искомому решению и к первому фундаментальному решению.
За область интегрирования В выберем часть области возмущения первого фундаментального решения, для которой 
вырезав еще из нее особую линию 
цилиндром радиуса 
. Обозначим черев 
часть поверхности этого цилиндра, являющуюся границей области В, черев 
часть плоскости 
и через 
- часть плоскости 
являющиеся границами этой же области. Пусть 
будет внешней границей области возмущения.
Применяя формулу (17), получим:
где через 
обозначено выражение:
Подсчитаем отдельно каждое слагаемое левой части. Прежде всего, необходимо отметить, что интеграл, взятий по 
обращается в нуль. Действительно, благодаря кинематическим и динамическим условиям совместности, выражение (46) уничтожается на 
так как 
и выражения (19) непрерывны при прохождении сквозь поверхность 
и уничтожаются вне области возмущения.
На поверхности 2 выражение 
содержит только известные элементы, так как 
величины 
заданы с помощью граничных условий (28). Аналогично, на поверхности 
обращаются в нуль 
величины же 
и известны. Благодаря этому выражение 
также известно на этой поверхности и интеграл по 
определен.
Займемся подсчетом интеграла, взятого по цилиндру 
Так как мы впоследствии перейдем к пределу при стремлении радиуса цилиндра 
к нулю, то очевидно олагаемые, зависящие от обратных отраженных волн 
для которых ось цилиндра не является особой линией, будут стремиться к нулю, поэтому мы займемся исключительно членами, зависящими от 
Отметим: прежде всего, что на цилиндре направляющие кооинусы нормали, внутренней по отношению к В, будут иметь вид: 
Далее, непосредственный подсчет дает для составляющих вектора смещения 
во всем пространстве формулы:
где
Простые выкладки дают далее на поверхности цилиндра 
(см. скан)
Очевидно, интеграл
(см. скан)
Разберем каждое слагаемое порознь.
Если обозначить контур окружности Цилиндра через I, то первый интеграл может быть представлен в виде:
(см. скан)
Применяя к внутреннему контурному интегралу, взятому по I, формулу Гаусса, приведем его к виду:
где черев о рбозначена площадка основания цилиндра; отсюда, с номощщо теоремы о среднем, получим для первого слагаемого правой части (50) представление:
Здесь через 
обозначена некоторая точка, лежащая внутри окружности 
Принимая во внимание, что 
ограничено и
мы видим, что предел первого слагаемого правой части (50) будет:
Принимая во внимание, что на цилиндре
второе слагаемое может быть ваписано в виде:
Первое слагаемое в формуле (52) представляется в виде:
Если применить к внутреннему интегралу по I теорему о среднем, то очевидно мы приходим к выражению для предела этого слагаемого в виде:
Что касается второго слагаемого, то его предел проще всего определить, представляя его в виде:
Применяя опять к внутреннему интегралу формулу Гаусса и теорему о среднем, преобразуем это выражение к виду:
Очевидно, что предел этого интеграла — нуль, так как ограничено и среднее значение 
отремится к нулю.
Собирая эти результаты, мы получим выражение для предела интеграла по 
Переходя в формуле (45) к пределу и перенося члены, содержащие неизвестные, в одну часть, а члены, не содержащие их, в другую, будем иметь:
Тот же самый процесс рассуждений применим еще раз, если рассмотреть вместо первого фундаментального решения второе.
Применим формулу (17) к объему, получаемому вырезанием малого цилиндра радиуса в из части области возмущения второго фундаментального решения, для которой 
Обозначим эту область череч 
В качестве одного из решений возьмем искомое 
а в качестве другого второе фундаментальное решение 
Если 
обозначить часть поверхности цилиндра радиуса 
служащую границей 
через 
часть плоскости 
служащую границей той же облаете, через чаоть плоскости 
через 
наконец, часть внешней границы области возмущения через то применение формулы Грина-Вольтерра дает:
где черев обозначено выражение:
Попрежиему легко убедиться, что интегралы по 
и 
представляют собою известные величины, а интеграл по N уничтожается.
Вычислим предел, к которому стремится интеграл по цилиндру 
При его вычислении, очевидно, достаточно Принимать в расчет лишь слагаемые, соответствующие так как для 
ось цилиндра служит обыкновенной линией. Непосредственный подсчет 
дает нам:
(см. скан)
Принимая во внимание формулы (47), получим далее на поверхности цилиндра:
(см. скан)
Очевидно интеграл
(см. скан)
Не повторяя рассуждений, почти дословно совпадающих с теми, которые приведены нами для первого фундаментального решения, приводим здесь окончательный результат:
Переходя к пределу в формуле (56) и перенося члены, не содержащие неизвестные, в правую часть, получим:
Обозначим, для краткости, правую часть формулы (55) через 
а правую часть формулы (62) через 
Дифференцируя затем (55) по 
а (62) по 
и складывая, получим:
Аналогично, дифференцируя (55) по 
по 
и вычитая, получим
Прибавляя и вычитая 
обеих частей (63) и (64)
и пользуясь уравнениями (25), будем иметь:
Интегрируя затем но частям левые части (65), приходим к окончательным формулам:
Формулы (66) выражают неизвестные смещения в точке 
через известные элементы и, таким образом, решают в замкнутой форме поставленную задачу.
