§ 2. Общий анализ комплексных решений

1. Однородные комплексные решения волнового уравнения. Внутренность основного конуса.

Для того чтобы изучить более детально введенные нами в прошлом параграфе комплексные решения, не сводящиеся к плоским волнам, полезно разобрать один пример, имеющий теоретическое значение. Пусть в формуле (39) § 1 свободный член тождественно равен нулю. Если не обращается в нуль, то, разделив уравнение на соответствующий делитель, мы можем добиться того, чтобы было справедливо равенство

Далее, так как произвольная функция от является функцией любой переменной, зависящей только от , то класс решений (37) § 1 может быть представлен в виде:

где С комплексная переменная, зависящая от . Пусть не равно постоянной. Тогда, пользуясь отмеченной функциональной инвариантностью нашего класса решений, определим комплексную переменную С по следующей формуле:

Так как, по нашему предположению, не сводится к постоянной, то класс решений, даваемых формулой (1), совпадает с классом, даваемьм функциями

В силу условия (40) § 1, коэффициент может быть сразу вычислен; мы получим, таким образом:

Для того чтобы остановиться на чем-нибудь определенном, выберем знак При этом окончательно мы получим для С уравнение:

Удобнее всего решается это уравнение введением полярных координат. Полагая получим:

откуда

Формула (4) является удобной в том случае, когда

Если

то удобнее придать этой формуле несколько другой вид:

Произведем анализ этих случаев порознь. В трехмерном пространстве с координатами область (5) представляет собой внутренность конуса с вершиной в начале координат и осью, параллельной оси Угол, составленный образующей этого конуса с осью равен

Рассмотрим сначала ту половину конуса, где

Внутри этой половины мы будем, очевидно, иметь два корня (4). Обозначим их, соответственно:

Не трудно видеть, что оба корня (4) сохраняют постоянное значение на полупрямых, проходящих через вершину конуса

Очевидно, что область изменения представляет внутренность круга:

а область изменения внешность этого крута.

Точки соответствующие одному и тому же лучу, симметричны относительно окружности

Между лучами в пространстве лежащими внутри конуса, и плоскостью комплексной переменной С, или существует простое однозначное соответствие. При исследовании этого соответствия удобно пересечь конус (5), плоскостью При этом мы получим в сечении круг в плоскости, определяемый тем же неравенством (5). Каждому лучу, проходящему внутри конуса, отвечает некоторая точка внутри круга. При этом задача сведется к исследованию соответствия между кругом (9) и кругом (5).

Каждому радиусу круга отвечает радиус круга

и каждой окружности с центром в начале отвечает окружность:

причем большей окружности соответствует ббльшая, контур одной контуру другой и центр одной центру другой. Точки и соответствующие одной и той же точке являются симметричными относительно окружности, так как аргументы их равны, а произведение модулей равно единице.

Поэтому соответствие круга (9) внешности круга (6) носит такой же простой характер. Радиусу отвечает радиус и притом идущий под тем же углом.

Окружности с центром в начале отвечает окружность с центром в начале, причем бблыпей отвечает меньшая и наоборот. Центру круга (9) отвечает бесконечно далекая точка области (6), а контуру (9) контур (6).

Подобно тому как мы складывали в предыдущем параграфе сопряженные функции от сопряженных комплексных переменных, чтобы получить вещественное решение задачи, здесь можно получить вещественное решение задачи, складывая соответственно подобранные функции

Всякая функция или может быть рассматриваема как функция переменной

или соответственно

Переменные и будут, очевидно, иметь сопряженные значения во всех: точках пространства так как их вещественные части, равные 0, совпадают, а мнимые обратны по знаку, как логарифмы обратных величин.

Рассмотрим две сопряженные функции от переменных и принимающих в точках, симметричных относительно вещественной оси, значения, отличающиеся лишь знаком мнимой части. Эта пара функций заменой (10) и (11) превращается в функции:

обладающие тем свойством, что значения их в точках, симметричных относительно окружности отличаются лишь знаком мнимой части. Мы будем называть, пару функций (12) сопряженными относительно окружности (9).

Вещественные решения волнового уравнения получаются в виде полусуммьь функций (12):

или иначе, в виде:

Функция и, определенная уравнением (14), дает нам некоторое вещественное решение волнового уравнения (34) § 1, являющееся однородной функцией, нулевого измерения относительно Можно доказать, что все такие решения выражаются формулой (14).

Действительно, всякая однородная функция нулевого измерения относительно внутри конуса (5) является функцией только двух переменных:

Вводя в волновое уравнение (34) § 1 новые независимые переменные после элементарных выкладок приведем его к виду:

Уравнение (16) представляет собою уравнение Лапласа в полярных координатах и общий интеграл его представляется в виде:

что и доказывает наше утверждение.

Весь анализ, произведенный нами для верхней половины конуса, может быть без всякого изменения перенесен на нижнюю его половину.

Нам будет удобнее переменить там обозначения, считая для

При этом опять будет отвечать внутренности единичного круга, а его внешности.

Разница с предыдущим будет только в том, что аргумент и будет равен , так как оба выражения

отрицательны.

Окончательный результат будет иметь вид:

или

как и в предыдущем случае.