5. Асимптотическое распределение характеристических чисел.

Заканчивая наше исследование, мы остановимся еще на вопросе о распределении характеристических чисел. Физически говоря, это обозначает, сколько частот колебаний мембраны лежит ниже, чем заданное значение Точный ответ на этот вопрос требует, конечно, определения характеристических чисел в каждом данном случае. Мы покажем, однако, что для очень большого число собственных колебаний с частотами, меньшими для всех мембран с одинаковой площадью асимптотически одно и то же. Если есть площадь мембраны и число характеристических чисел, меньших то

Это асимптотическое выражение мы докажем сначала в случае прямоугольника, где нам уже известно распределение характеристических чисел. Разобранные нами выше методы вариационного исчисления позволят нам перенести эту формулу и на общий случай.

Прямоугольник. Собственные колебания прямоугольника с ребрами имеют вид (см. § 3, стр. 323):

где суть целые положительные числа. Характеристические числа А дифференциального уравнения равны

Соответствующие частоты равны

если положить, как раньше

Для нахождения числа частот, меньших, чем некоторая заданная величина мы должны ответить на вопрос, сколько имеется целых и положительных решений неравенства

При конечном значении мы можем подсчитать число таких решений, если проведем в координатной системе, абсциссой которой служит а ординатой эллипсы Полуоси этих эллипсов равны соответственно — Все точки с целыми координатами, лежащие внутри первого квадранта эллипса и образующие плоскую решетру, соответствуют частотам

Для точек, лежащих вне эллипса, Число частот, меньших , равно числу узлов решетки, лежащих внутри первого квадранта эллипса. Это число приближенно равно площади этого квадранта. В теории чисел доказывается, что относительная ошибка, получающаяся при таком приближении, с возрастанием стремится к нулю. Отсюда приближенно

или точнее:

Если заменить граничное условие граничным условием что соответствует отсутствию граничных условий при вариационной трактовка задачи, то собственные колебания прямоугольной мембраны, незакрепленной на границе, имеют вид:

Соответствующие частоты

получаются такие же, как и в случае граничного условия Добавляйте, при этом только частоты, получающиеся, если положить или равным нулю. В прямоугольнике с закрепленными границами эта возможность исключен. Вновь полученные характеристические числа лежат, если их представить графически, в узлах решетки, с положительными координатами. Асимптотическая формула для числа собственных колебаний остается той же, так как число добавляющихся частот равно сумме полуосей и в асимптотической формуле отнадаег

Докажем теперь, что эта формула остается справедливой при любой форм мембраны. Основной идеей доказательства является то, что при увеличена

добавочных условий в вариационной задаче, ограничивающих круг допускаемых функций, минимальные значения могут этим только увеличиваться. Поэтому и в максимально-минимальной задаче наибольший из минимумов может только возрастать.

Наоборот, если "ослабить" вариационную вадачу, т. е. опустить часть условий (граничных условий или требований непрерывности), то круг допускаемых функций тем самым расширяется и все минимумы и их наибольшие значения могут только убывать. Физически это означает то, что при усилении граничных условий частоты возрастают, а при ослаблении уменьшаются.

Для того чтобы применить этот основной факт к нашему частному случаю, мы поступим следующим образом.

Проведем в плоскости мембраны, покрывающей область систему координат и нанесем квадратную сетку прямых, параллельных осям, находящихся на расстоянии друг от друга.

Совокупность квадратиков, все точки которых лежат внутри заданной области, образует некоторую область, которую для краткости назовем внутренним многоугольником. Если же мы возьмем все квадратики, имеющие но крайней мере одну общую точку с мы получаем фигуру, которую для краткости назовем внешним многоугольником. Площадь мембраны лежит тогда между внешним и внутренним многоугольниками и при уменьшении квадратиков площади этих многоугольников стремятся к площади мембраны.

Усиление вариационной задачи. Мы будем исходить из вариационной задачи мембраны, закрепленной на краю. Усилим условия, налагаемые на фундаментальные функции, тем, что вакреним все площадки, лежащие между границей мембраны и внутренним многоугольником. Добавим, далее, еще более ограничивающее условие, закрепив мембрану вдоль прямых, образующих решетку. Мы приходим тогда к колебаниям внутреннего многоугольника с закрепленной границей и закрепленными прямыми, образующими координатную решетку. При этом, конечно, отдельные квадратики вписанного мноугольника колеблются независимо друг от друга. Число собственных колебаний внутреннего многоугольника с частотами, меньшими мы получим, складывая число таких колебаний по всем отдельным квадратам. Асимптотическое число колебаний с частотами, меньшими для каждого отдельного квадрата равно следовательно, для всех квадратов равно

где есть площадь внутреннего многоугольника. Так как при таком усилении закрепления все частоты увеличиваются (или но крайней мере не уменьшаются), то число частот, меньших уменьшается (или по крайней мере не увеличивается). Это полученное нами число будет ваведомо меньше числа колебаний нашей мембраны с частотами, меньшими т. е.

Ослабление вариационной задачи. Мы будем исходить опять-таки из вариационной задачи с данной мембраной и будем ослаблять наложенные условия, оставив сначала свободными части поверхности между внешним многоугольником и мембраной. Ослабляя мембрану далее, мы освободим границу внешнэго многоугольника и разрежем последний вдоль прямых, образующих решетку; математически говоря, мы отбросим условие непрерывности вдоль прямых, образующих решетку. Отдельные квадратики при этом колеблются совершенно независимо друг от друга, без всяких граничных условий минимальной

задаче это дает граничное условие со свободной границей. Колебания разрезанного внешнего многоугольника слагаются колебаний этих отдельных квадратиков. Число колебаний разрезанного внешнего многоугольника с частотами, меньшими , равно сумме таких чисел для отдельных квадратов. По (53) число колебаний с частотами, меньшими для квадрата асимптотически равно а сумма для всех квадратов равна где есть площадь вписанного многоугольника. Так как при ослаблении наложенных условий частоты колебанин падают (или, по крайней мере, не увеличиваются), то число частот, меньших будет увеличиваться (или, по крайней мере, не падать). Полученное нами число поэтому больше ели равно их числу для первоначально рассматриваемой мембраны. Вместе с (54) это дает нам неравенства:

Уменьшая величину отдельных клеток решетки и увеличивая их число, мы можек сделать площади вписанного и описанного многоугольников сколь угодно близкими к площади мембраны. Значит верхняя и нижняя границы выражения стремятся к одному и тому же пределу, и мы получаем асимптотическую формулу:

Приведенные здесь соображения могут быть перенесены на все вадачн на нахождение характеристических чисел.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)