4. Примеры.
Введение угловых переменных совершается очень просто в первом примере § 5, 4. В силу § 5, (36) и (20), мы должны положить:
Интеграл по замкнутому контуру нужно взять между корнями 
подинтегральной функции в прямом и обратном направлениях. Проще всего его вычислить посредством введения вспомогательной переменной 
с помощью уравнения 
Для корней подинтегральной функции 
или 
Следовательно, интеграл нужно взять от 
до 
и обратно, или, вследствие периодичности подинтегральной функции относительно от 
до 
При этом 
принимает значение
иди, согласно § 5, (23):
Но в силу § 5, (20) и (21) отсюда, следует:
На основании § 5, (39);
и если мы вычислим интеграл аналогично § 5 (24): 
Решения уравнений движения в угловых переменных и переменных действий имеют, согласно § 5 (40), вид: 
Мы получим касательные преобразования, посредством которых вводятся 
подставляя в § 5, (25):
Система вырождается согласно (10), если между 
имеется соотношение вида 
где 
есть целые числа, т. е. — представляет собой рациональное отношение. В этом случае система является просто периодической.
