2. Изотропные среды.

Изотропные среды характеризуются тем, что показатель преломления зависит только от координат, но не от направления. Таким образом, нормальный вектор, соответствующий вектору луча, равен, согласно § 1, (23), (41),

так как производная от по вектору направления обращается в нуль.

Следовательно, в этом случае сам луч перпендикулярен к поверхности волны. Показатель преломления есть функция зависящая только от Волновая скорость на основании (4) и § 1 (15), равна скорости луча Так как уравнение § 1 (42) принимает теперь простой вид:

то функция Гамильтона, согласно (46) § 1, равна

Отсюда опять, согласно (59) § 1, получается уравнение эйконала в следующем виде:

Если предположить, что неоднородность среды заключается только в том, вто она состоит из двух однородных сред с постоянными показателями преломления то, применяя к нашему случаю закон преломления (2) в общем виде и уравнение (4), мы получим:

где означают направления падающего и преломленного лучей. Из уравнения (3) следует, что падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр в точке падения лежат в одной плоскости. Если угол между падающим лучои в перпендикуляром в точке падения обозначить через а угол между преломленным лучом и перпендикуляром в точке падения через то уравнение (8) принимает вид известного гакона преломления Снеллиуса:

В случае изотропных сред законы отображения (20), (24) § 2, также получают очень простое выражение. Подставляя в уравнение (24) вместо их значения из (4), мы получим:

Если обозначить углы между отображающим лучом и линейным элементом через и то предыдущее уравнение можно переписать в следующем виде:

Предположение, сделанное при выводе уравнения (24), § 2, в нашем случае родится к тому, что должен существовать такой луч, к которому перпендикулярны оба направления а, и а, отображаемых отрезков. В том случае, когда особый луч прямолинеен, а среда и, следовательно, траектории лучей обладают осевой симметрией относительно рассматриваемого луча, можно вместо углов ввести углы между каким-либо лучом и центральным аучом. Тогда уравнение (11) примет вид:

Это уравнение обычно называется "законом синусов Аббе". Его значение заключается в вытекающем из него важном условии того, что два линейных элемента отображаются резко друг на друга, хотя в него и входят только углк режду лучами пучка и центральным лучом, посредством которого одна единственная точка резко отображается на другую точку.

Уравнение (20) § 2 также можно наглядно истолковать в случае изотропной среды. Прежде всего из него, согласно уравнению (4), следует, что:

Полагал

где есть углы между двумя соседними отображающими лучами, единичные векторы, перпендикулярные к этим лучам и лежащие в плоскостях, определяемых векторами и обозначая через

коэффициент углового увеличения", мы получим, разделив (12) на

Если опять рассмотреть случай, когда имеется луч, к которому перпендикулярны оба отрезка и, в частности, предположить, что этот луч является центральным лучом некоторой системы, обладающей осевой симметрией, так что оба отрезка лежат в одной плоскости с обоими отображающими лучами и центральным лучом, то, пользуясь приведенными выше обозначениями, можно написать:

Тогда уравнение (15) принимает вид:

Очевидно, что это уравнение можно также получить, дифференцируя закон синусов. Оно обычно называется законом отображения Штраубеля, и для близких к оси лучей, для которых можно положить и равными 1, переходит в условие Лагранжа: