5. Седиментация и броуновское движение в поле силы тяжести.
Перейдем теперь к общей задаче решения уравнения (35) при определенных граничных.
условиях. Мы можем решить эту вадачу, вводя новую зависимую переменную, 
мы уже делали в гл. XIII, § 3, 5, а именно, полагая:
Для с тогда получается дифференциальное уравнение
т. е. то, которое имеет место для диффузии в покоящейся среде. Граничные условия при этом, естественно, меняются, а именно вместо условия 
получается 
и вместо 
условие 
Применим вышесказанное к раствору, находящемуся в высоком сосуде под действием силы тяжести. Пусть у сосуда будет горизонтальное "клейкое" (ср. гл. ХIII, § 3, 1) дно
Наше граничное условие гласит тогда, согласно гл. XIII, § 3, 2: 
при 
если дно находится в этой плоскости. При 
пусть 
когда область интегрирования содержит значение 
когда она его не содержит. Тогда, вследствие формального тождества задачи 
рассмотренной в гл. ХIII, § 3, 2), мы можем прямо написать решение, подставляя для с выражение гл. XIII, § 3, (8).
Решение гласит, принимая во внимание (38):
Если мы теперь вычислим, следуя ходу мыслей гл. XIII, § 3,1, вероятность первого прохождения плоскости 
между 
отнесенную к движению отдельной частицы, то мы получим:
откуда, без труда выполняя интегрирования, получаем следующие средние значения времен прохождения:
Сопоставляя их, мы получим простую формулу
которой обычно пользуются для определения 
при наблюдение броуновского движения тяжелых частиц в вертикальном направлении.
Она играет большую роль при определении заряда малых частиц по способу Эренгафта-Милликена.
Если дно сосуда "отражает" частицы, то граничное условие должно выражать, что обшиб поток черев плоскость 
исчезает, так что
или, согласно (38):
И вдесь мы можем сразу написать общее решение для с по гл. XIII, § 3, 52), если мы примем, что при 
для области интегрирования, содержащей точку 
и равен нулю в противном случае. По формуле (79) гл. ХIII, § 3 мы должны положить:
Подставляя в (76) гл. XIII, § 3, мы получим, при вышеуказанных условиях после простых вкладок:
Вводя в последний интеграл в качестве неременной интегрирования 
мы сведем его к функции 
[гл. ХIII, § 2, (11)]; пользуясь (38), мы получим окончательно для с:
Для очень больших 
эта формула сводится к
т. е. имеем стационарное распределение, которое представляет собой, как этого и следовало ожидать, частный, случай общего решения (37) и уже подробно рассмотрено нами в 4.
