ГЛАВА XX. ТЕОРИЯ ДИФФРАКЦИИ

§ 1. Разветвленные решения уравнения колебаний

В то время как для описания явлений, происходящих в обычном процессе зрения или в оптических инструментах, в основном достаточно геометрической или лучевой оптики, для объяснения явлений диффракции необходимо пользоваться волновой оптикой. Лучевая оптика получается как предельный случай волновой при (ср. § 3, 4). Классическую теорию диффракции можно рассматривать как соответствующую первому члену разложения в ряд по малой величине к (ср. тот же § 3). Этим объясняется большое значение обыкновенной теории диффракции и ее способность приспособляться к самым сложным граничным условиям (отверстие произвольной формы, решетка), которые представляют непреодолимые трудности при точной трактовке.

В противоположность этому, мы рассмотрим в этом параграфе диффракционные задачи при произвольном X, как математические задачи с граничными условиями. Правда, мы должны будем ограничиться самыми простыми случаями и настолько идеализировать граничные условия, что, пожалуй, можно усомниться, можно ли такую трактовку считать, с физической точки зрения, "точным решением" днффракционной задачи.

Если отвлечься от аналитических трудностей, связанных с существом дела, то задачи, которые мы рассмотрим, представляют с принципиальной точки эрения наиболее простые примеры колебательных задач. Здесь дело идет об углубленном понимании фундаментального факта — отбрасывания тени непрозрачными телами.

1. Математическая формулировка задачи.

Рассмотрим плоский экран ограниченный контуром В. Где-нибудь перед ним пусть находится источник света Экран мы будем считать бесконечно тонким, но, несмотря на это, совершенно непрозрачным. С точки зрения электромагнитного поля мы достигнем этого, если будем считать его идеальным проводником В идеальном проводнике не может существовать электрического поля. Поэтому внутри проводника Вследствие непрерывности касательной составляющей [гл. XIX, § 1, (4)], отсюда следует для внешнего поля по обеим сторонам экрана:

Так как нормальная составляющая ноля вообще не непрерывна, т. е. не обязана исчезать во внешнем пространстве, можно также сказать: электрические силовые линии направлены перпендикулярно к поверхности экрана, как в электростатике.

Определенный таким образом "непрозрачный экран" отличен от "черного экрана", рассматриваемого в оптике. Черное тело, по определению, поглощает всю падающую на него энергию и ничего не отражает. Наш же непрозрачный экран не поглощает энергии и отражает вполне. Его можно называть "блестящим" телом (blank). Черное тело вообще нельзя определить с помощью электромагнитных граничных условий. В следующих параграфах мы увидим, каким образом с нашей точки зрения можно определить черное тело хотя бы приближенно.

Мы возьмем поверхность экрана в качестве плоскости нормаль, к нему за ось В источнике света мы представим себе электрический диполь (гл. XIX, § 4, 2), колеблющийся с частотой и "волновым числом" будем различать два случая:

A) Ось диполя параллельна плоскости экрана, например, направлена по оси

B) Ось дидоля перпендикулярна к экрану, т. е. направлена по оси

Согласно уравнениям (8) гл. XIX, § 4, 2, касательные составляющие будут

Уравнение (1) будет удовлетворено, если на поверхности потребовать

В случаях и мы положим соответственно

будет тогда комплексной функцией точки наблюдения и положения источника света

Для ее определения, мы имеем условия:

1) удовлетворяет в координатах уравнению

2) для делается бесконечной как уравнение (7), гл. XIX, § 4, 2]; во всех остальных точках и конечно и непрерывно

3) на поверхности экрана в случае в случае

4) сюда еще надо присоединить условие на бесконечности и должно

иметь характер уходящих воли, чтобы исключить волны, приходящие из бесконечности (ср. гл. XIX, § 5).

Еслп мы перейдем к частному случаю плоской волны, т. е. будем отодвигать диполь в определенном нанравлении на бесконечность (соответственно усиливая его амплитуду и меняя его фазу), мы можем, обычпом образом, разложить процесс на два (под плоскостью падения мы будем понимать плоскость проведенную через направление падающей волны и нормаль к экрану):

A) Плоскость поляризации параллельна плоскости падения; тогда перпендикулярно к плоскости падения, т. е. параллельно экрану, например, лежит в направлении оси х.

B) Плоскость поляризации перпендикулярна к плоскости падения; тогда параллельно экрану и направлено по оси х.

Тогда мы можем положить:

и будет в обоих случаях комплексно 1 фупкцией точки наблюдения и угла падения а (то есть угла между направлением распространения и пормалью к экрану).

На основании уравнения (1), 1» случае А на экране опять будет в случае В, из уравнения (2) и уравнения Максвелла

заключаем:

Вследствие этого, при теперешнем определении и, для случаев остаются прежние условия 3. Точно так же, на основании уравнения (12) на стр. 812, остается в силе условие 1. Напротив, вместо 2 и 4 мы должны потребовать:

2) и везде конечно и непрерывно;

4) и ведёт себя на бесконечности как падающая по направлению а плоская волна [ср. уравнепие (14) стр. 812].