2. Дифференциальное уравнение теплопроводности.

Пользуясь законом (4), мы можем без труда вывести дифференциальное уравнение теплопроводности в твердых телах, для чего подсчитаем баланс тепла, входящего и выходящего из некоторого мысленно выделенного в теле элемента объема Допустим сперва, что вещество неоднородно, но изотропно, тогда есть скалярная функция точки.

Излишек входящего в количества тепла над выходящим мы получаем из формулы для [уравнение (4)], если распространим интегрирование на поверхность элемента объема. По теореме Гаусса этот интеграл равен объемному интегралу. Так как мы рассматриваем лишь объемный элемент, то имеем [см. уравнение (4)]. Далее, в элементе может, посредством каких-либо процессов (например, химической или электрической природы), возникать тепло. Если обозначить черев А количество тепла, возникаюшего в одну секунду в единице объема, то к полученному выражению надо прибавить еще . С другой стороны, вследствие увеличения количества тепла в элементе температура его возрастает на (в единицу времени), или, согласно (1), количество тепла — на где обозначает плотность вещества. Приравнивая это выражение сумме, указанной выше, получим искомое дифференциальное уравнение:

Если среда анизотропна, что имеет, например, место для многих кристаллов, то направление теплового потока и направление градиента температуры, вообще говоря, не совпадают друг с другом, и скалярная величина к заменяется теперь

тензором К, с составляющими Изменение дифференциального уравнения (9) сводится при этом просто к замене произведения к и произведением Вместо (9) для анизотропных тел имеем, следовательно:

Если предположить, что тензор - симметричный тензор, что довольно надежно установлено опытными исследованиями над различными кристаллами, то всегда можно выбрать такую координатную систему, что все составляющие с двумя различными индексами исчезнут и останутся одни "главные составляющие" по трем направлениям соответственно. Далее мы будем всегда пользоваться этой координатной системой.

Если к или -постоянные величины, то из (10) следует:

и из (9), в силу

Если, кроме того, то дифференциальное уравнение имеет простой вид

Величина если теплоемкость постоянна, также постоянна и носит название температуропроводности.

В стационарном состоянии, в котором и есть функция только точки из (12) следует:

то есть уравнение Пуассона теории потенциала. При из него получается

т. е. уравнение Лапласа. В этом случае задачи теплопроводности приводятся, следовательно, к задачам теории потенциала. Общее уравнение (13) есть- линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. Если и зависит лишь от одной пространственной координаты х, то оно имеет вид то есть мы имеем дело с параболическим дифференциальным уравнением.

Задачей теории теплопроводности является нахождение решения и дифференциального уравнения [соответственно (11), (12) или (13)], пере ходящего при внутри конечной области пространства в некоторую заданную функцию от , причем на границе температура и или падение температуры или линейная комбинация обоих [как, например, в уравнении (8)], при заданы как функции При этом и должно быть для регулярно во всей области.