4. Связь между геометрической и волновой оптикой.

Мы сейчас убедились в почти полном совпадении результатов двух различных методов вычисления диффракционных явлений.

Это совпадение основано на малости длины волны: для больших, длин волн (акустика, радиотелеграфия) метод Гюйгенса с его несколько произвольными предположениями о граничных условиях уже недостаточен.

В виде дополнения мы покажем, что малость длины волны объясняет также совпадение результатов волновой и лучевой (геометрической) оптики. В самом деле, мы все время применяем лучевую оптику как в обыденной жизни, так и при расчете оптических инструментов, твердо зная, что отклонения от лучевой оптики могут проявляться только во вторичных явлениях (диффракция). Мы постараемся обосновать ото, следуя Дебаю, следующим обравом. Дифференциальное уравнение волновой оптики имеет вид

Вследствие малости длины волны, - величина к здесь очень большое число - размерность его Будем искать приближенное решение

и предположим, что будут медленно меняющиеся функции положения, т. е. такие, которые и в пределе остаются конечными и непрерывными, вместе со своими производными; обозначает значение к в пустоте, т. е. величину тогда как пусть относится к произвольной среде с показателем преломления Дифференцируя (13), получим:

где обозначенные многоточием члены не обращаются в бесконечность при Вследствие этого

Таким образом, мы удовлетворим приближенно волновому уравнению, если определим так, чтобы одновременно было равно показателю преломления

или

Из (13) следует, что уравнение дает семейство волновых поверхностей, так что есть вектор нормали к волне, т. е. (в изотропной среде) лучевой вектор. Величина называется "эйконал" и тождественна с "характеристической функцией" Гамильтона, которому принадлежит также и обозначение Таким образом представляет уравнение эйконала; определяет амплитуду А, если известно. Если положить

то будет, согласно единичным вектором в направлении луча, а уравнение показывает тогда, кто градиент в направлении луча равен

так что А уменьшается по мере расхождения лучей и увеличивается там, где они сходятся. Для общности можно считать меняющимся непрерывно (неоднородная среда), и тогда мы получим кривые лучи.

Только что проделанное преобразование волнового уравнения в уравнение; лучевой оптики показывает также, в каких случаях лучевая оптика перестав быть приближением для волдовой. Мы предполагали, что А (как и ) — медленно меняющаяся величина, т. е. что она мало меняется на отрезках порядка длины волны, иначе говоря, порядка А уже не будет удовлетворять эти требованиям, когда граничные условия (наличие экрана) обусловливают по геометрической оптике резкий скачок А (например, на границе тени) или когда уравнение приводит в слишком большим значениям градиента А. Последней получается, в частности, в тех случаях, когда очень велико, т. е. в фокусах, фокальных линиях и плоскостях. И в этих случаях мы также имеем диффракционные явления, для которых лучевая оптика становится недостаточной, так что надо обращаться к волновой оптике.

Дифференциальное уравнение эйконала тождественно с уравнением Гамильтона-Якоби для движения материальной точки в силовом поле с надлежащим образом выбранной потенциальной энергией. В самом деле, закон сохранения энергии дает для свободной материальной точки в трех измерениях соотношение

Применяя метод Гамильтона-Якоби и припоминая соотношения мы будем иметь;

и уравнение Гамильтона-Якоби будет иметь вид:

Это уравнение совпадет с если взять

Таким путем можно сопоставить геометрическую оптику с механикой световых частиц (в духе Ньютона или в духе теории квант). В этой связи можно искать действительные корни механики Гамильтона. В последнее время эта связь стала особенно актуальной, так как в руках Шредингера (SchrOdinger) она привела к реформе механики атома, к так называемой "волновой механике". Последняя стоит в таком же отношении к классической механике, как наша волновая функция и к характеристической функции лучевой оптики: уравнение в частных производных волновой механики имеет тот же самый вид, что и уравнение Оно представляет собой, таким образом, уравнение в частных производных второго порядка, а не первого порядка, как основные уравнения лучевой оптики или классической механики.

В волновой механике уравнение допускает простое толкование: оно показывает, что число частиц при движении сохраняется, еслй только считать, что объемная плотность их задается квадратом амплитуды. Это вытекает из тех же соображений, из которых в гидродинамике выводится уравнение неразрывности.

С точки зрения волнового уравнения скорость частиц равна не фазовой, а связанной с ней групповой скорости волн. Таким образом, перед нами открывается заманчивая перспектива трактовать частицы подобно световым лучам, а затем и подобно световым волнам. В настоящее время можно говорить с диффракции материи точно так же, как о диффракции световых волн.