§ 3. Спонтанное конвекционное течение под действием внешних сил

При нагревании жидкости в цилиндрическом сосуде со стороны дна, выравнивание температуры происходит, как известно, так, что сперва нагревается слой жидкости, непосредственно прилегающий ко дну, вследствие чего слой расширяется. Вследствие уменьшения плотности он поднимается вверх, в то время как более холодная и тяжелая жидкость опускается вниз, снова нагревается на дне, снова поднимается и т. д. Аналитическое описание этого процесса сталкивается с очень большими трудностями, а именно по гидродинамическим причинам, так как этот подъем и опускание жидкости в сосуде не представляют правильной циркуляции, а происходит в виде беспорядочных потоков. Броме того, при этом происходит еще диффузия более теплой жидкости в более холодную, — задача, которой мы не хотим вдесь касаться.

Мы можем, однако, непосредственно пользуясь изложенными выше принципами рассмотреть один особенно простой случай спонтанного конвекционного течения, как пример для ряда аналогичных задач.

Выберем в качестве примера применяемого вдесь метода следующий.

Возьмем замкнутую трубку в форме прямоугольника высоты и основания с закругленными углами для того, чтобы поток не образовывал в них вихрей. Труба, целиком заполненная жидкостью или газом, поставлена так, что сторона вертикальна и подогревается вдоль нижнего колена таким образом, что в А господствует постоянная температура Тогда жидкость, как сказано выше, будет подниматься вверх вдоль будет течь далее вдоль горизонтального участка и падать между при этом она будет постепенно охлаждаться теплоотдачей трубе и от трубы наружу, и снова нагреваться на пути от В вдоль пока опять не примет, достигнув А, температуры

Таким образом, в стационарном случае жидкость будет циркулировать по трубе, и вадача заключается в том, чтобы найти скорость этого течения и распределение температуры вдоль трубы.

Мы будем считать трубу настолько увкой, что можно будет пользоваться дифференциальным уравнением (24) § 2, т. е. считатьчто вдоль всего сечения господствует одинаковая температура. Далее, упростим закон движения жидкости. Примем, что линии тока параллельны оси трубы и скорость одна и та же по всему сечению. Трение вдоль стенок трубы мы будем учитывать и предположим, что оно прямо пропорционально скорости течения относительно стенки, направлено в противоположную сторону и прямо пропорционально площади трущихся поверхностей. Пусть количество тепла, развивающееся вследствие трения, настолько мало, что можно пренебречь вызванным им изменением температуры. Температуру внешнего пространства положим равной нулю.

Дифференциальное уравнение (24) § 2 для стационарного случая, если х обозначаетдлину, отсчитываемую вдоль трубы по и если в напишется так:

Уравнение справедливо лишь вне области источников тепла, т. е. для участка

Из соображений непрерывности произведение должно быть постоянным для всех х. Поэтому (1) есть дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, решение которого мы сраву можем написать. Оно имеет вид:

где и корни характеристическою уравнения

Так как для очень больших температура во всяком случае должна становиться произвольно малой, то из этих двух корней нам нужен лишь корень с нижним знаком, который мы назовем просто Так как, кроме того, при должно быть то мы получим:

Этим однозначпо определено распределение температуры, если нам еще удастся определить величину Но она получается из условия, что для стационарного состояния сумма всех сил, действующих на движущуюся жидкость, исчезает. Эти силы складываются из следующих трех частей: 1) из тяжести столба жидкости противодействующей скорости, 2) тяжести столба жидкости действующей в направлении течения, и паконец 3) из силы трения в трубе, также действующей в направлении, противоположном течепию. Если обозначить через ускорение силы тяжести и через коэффициент трения, то условие равповесия будет:

Изменение плотности с температурой следует известному закопу расширения:

где а постоянная и обозначает плотность при температуре Коэффициент трения также меняется с температурой; для упрощения задачи мы можем положить, правда с известным произволом, что пропорциональны друг другу, так что

Из (4) и (6) мы находим:

Веря за новую переменную мы получим далее:

Подставляя (7) и (8) в (5), получим:

Это уравнение содержит кроме лишь известные величины, и поэтому может быть из пего определено, чем и решается задача.

Уравнение (9) существенно упрощается, если, как ото обычно бывает, а не очень велико. Равлагая левую часть по малой величине а, получим:

Для согласно (3), конечно и отлично от нуля, левая часть уравнения остается конечной, так что должно быть Для следовательно, остается конечным, левая часть уравнения (10) равна нулю, т. е. должно быть

Далее, легко видеть, что для всех промежуточных вначений значения непрерывно растут от нуля до бесконечности.

Мы получаем результат, который можно было предвидеть, что циркуляция прекращается при и становится более быстрой при повышении температуры нагрева.