2. Отображение элеиентов линии и элеиентов поверхности.

Рассмотрим теперь точечные многообразия, зависящие от двух параметров и заданные тем, что радиусы-векторы представлены как функции двух скалярных параметров

В общем случае эти уравнения представляют две поверхности, на которых лежат точки причем каждой паре значений параметров соответствует определенное положение обеих точек. Этим выделяется определенный световой луч, связывающий точки Если уравнение (12) подставить в выражение для точечного эйконала,

то эйконал окажется функцией от и потому будет иметь для каждого луча определенное значение, равное ходу луча между его точками пересечения с обеими поверхностями (12).

Найдем частные производные функции по Из уравнения (13) мы получим

и дале, в силу (3) и (5):

Дифференцируя первое уравнение по а второе по и приравнивая результаты, так как оба раза получится мы получим:

Уравнение (16) показывает, что для каждого семейства световых лучей, зависящего от двух параметров, существует некоторое инвариантное дифференциальное выражение, т. е. такое выражение, которое вдоль каждого луча сохраняет постоянное значение.

Если функции не зависят от то уравнения (12) представляют две кривые, причем каждому значению и соответствует одна точка на каждой кривой, и следовательно — один световой луч, соединяющий эти точки. Допустим теперь, что световые лучи в нашей среде обладают таким свойством, что все лучи семейства, характеризуемого одним параметром, исходящие из некоторой точки кривой сходятся в одной и той же точке кривой В этом случае кривые представляют собой совокупности взаимных точечных отображений. Если мы будем различать лучи, исходящие из одной и той же точки, определяемой некоторым значением параметра и, при помощи другого параметра то мы опять получим семейство световых лучей, зависящее от двух параметров; однако теперь значение эйконала будет определяться одним значением параметра и, так как всё лучи с одинаковым значением и соединяют одни и те же точки и, следовательно, по определению величины соответствуют одному и тому же значению этой функции. Применим также и к этому семейству лучей уравнение (16); для этого нужно только положить, что производные от по равны нулю; тогда мы получим:

Уравнение (17) нельзя непосредственно вывести из уравнения (16), так как векторы представляли собой функции двух независимых переменных.

Однако, если и зависят только от и, то, дифференцируя первое из уравнений (15) по и приравнивая результат нулю, можно непосредственно получить уравнение (17).

Это уравнение имеет большое значение для теории оптического отображения. Величины и определяют в нем направления и длины двух бесконечно малых отрезков, точечно отображенных друг на друга, тогда как величины и зависят только от направлений световых лучей, которые отображают какую-нибудь конечную точку одного отрезка на определенную конечную точку другого. Таким образом, условия (17) должны быть удовлетворены для всех лучей, отображающих эти точки друг на друга, причем отображаемый отрезок остается неизменным. Если мы обозначим единичные векторы направлений обоих отображаемых друг на друга отрезков через а их длины через и то

откуда, введя коэффициент увеличения отображения

мы получим, на основании (17), (18) и (19),

Наглядная интерпретация величин и в общем случае анизотропной среды довольно затруднительна, поэтому мы ее коснемся более подробно только в § 3 при изучении изотропных сред. В общем случае мы рассмотрим только одно следствие, вытекающее из уравнения (20). Интегрируя обе части этого уравнения по мы получим

где векторы определяют направления определенного луча, связывающего отображенные друг на друга точки. Далее из уравнения (20) следует, что

Так как векторы соответствуют световому лучу, выбранному определенным образом, то последнее выражение может быть переписано также в следующем виде:

Это уравнение, справедливое для всех световых лучей, соединяющих обе отображенных друг на друга точки, причем постоянны, обыкновенно называется теоремой косинусов для оптического отображения, так как в это уравнение входят косинусы углов между нормальными векторами, соответствующими отображающим лучам и отображаемым отрезкам.

Теорема косинусов принимает особенно простой вид, если существует такой световой луч, для которого нормальный вектор перпендикулярен как к отображаемому отрезку, так и к его отображению. Если этот световой луч выбрать таким образом, чтобы его нормальные векторы совпадали с то и из уравнения (22) следует

Здесь необходимо отметить еще то обстоятельство, что, если вместо точечного эйконала ввести угловой эйконал, то из уравнения (15) можно получить аналогичные соотношения.

Подставляя уравнение (12) в равенство (6) или (10), мы получим функции для которых из уравнений (15) и определяющих их уравнений (6) и (10) вытекают следующие соотношения: