§ 3. Электростатическое равновесие на двух заряженных сферах

1. Задача и принцип решения.

С помощью разобранного в § 2, 4 принципа отражения можно решить такую задачу: две металлические сферы заряжаются до заданных потенциалов Ищется величина зарядов и их

распределение на поверхности обеих сфер, а также поле в окружающем пространстве.

Эту задачу можно прежде всего разложить на две задачи и, таким образом, упростить: сначала решим задачу в том частном случае, когда только отлично от нуля, равно нулю, т. е. вторая сфера заземлена; потом решим обратную задачу, соответствующую завемлению первой сферы: равно нулю, отлично от нуля. Общий случай получится в результате линейного наложения обоих частных случаев; поэтому можно ограничиться решением первой задачи.

Пусть радиус первой сферы, (рис. 69) равен а, радиус второй сферы расстояние центровке, и пусть

так что сферы не соприкасаются. Направим ось х по линии соединения обоих центров; поле будет обладать осевой симметрией относительно этой оси. Пусть координаты, отнесенные к первому центру, координаты, отнесенные ко второму цектру, причем а; и отсчитываются таким образом, что

Далее пусть:

Рис. 69.

Искомая потенциальная функция должна удовлетворять условиям:

Мы исходим из простейшей потенциальной функции, удовлетворяющей только условию (За)

и применяем метод последовательных отражений в обеих сферических поверхностях. Чтобы удовлетворить условию мы должны прибавить функцию образованную отражением в сфере Для этой цели обозначим функции, выраженные через радиус и полярные координаты (их можно обозначить через отнесенные к первому центру, буквой а ту же самую функцию, когда она выражена через радиус и полярные координаты отнесенные ко второму центру, — буквой Тогда функция, получающаяся при отражении в (для краткости назовем это преобразование отражением равна

Так как (и соответственно в (4) есть простая полюсная функция, то и основании § также представляет собой простую полюсную функцию с другим положением и другой силой полюса.

Функция удовлетворяет теперь условию но не удовлетворяет уже условию (За). Чтобы опять удовлетворить также и ему, мы опять должны прибавить функцию

которая получается из отражением в сфере а (говоря короче, отражением а). Эта функция опять представляет собой простую полюсную функцию опять удовлетворяет условию (3а), но уже не удовлетворяет условию Продолжение такого ряда отражений должно, если ряд сходится, привести к искомому решению в виде бесконечной последовательности функций.

2. Решение.

Функция имеет полюс силы в начале координат (точка на рис. 69). Поэтому функция имеет полюс в точке, получающейся из посредством отражения Эту точку мы обозначим через очевидно она находится внутри сферы После отражения а функция опять переходит в простую полюсную функцию с полюсом внутри сферы а и т. д.

Чтобы определить точнее положение полюсов, мы примем в расчет, что сфера а переходит после отражения в сферу лежащую целиком внутри но не охватывающую центра Внутри этой сферы лежит После отражения а эта сфера переходит в сферу лежащую целиком внутри аивсвою очередь не охватывающую точки Внутри этой сферы лежит Отражение примененное еще раз, переводит сферу в новую сферу лежащую внутри и не охватывающую точки причем внутри этой сферы лежит Продолжав этот прием, мы получим внутри сферы а ряд сфер лежащих внутри друг друга, причем между каждыми двумя последовательными сферами, считая также и сферу а, лежат последовательные полюсы Точно так же внутри сферы получается ряд сфер находящихся внутри друг друга, и между каждыми двумя сферами лежат последовательные полюсы Оба ряда полюсов приближаются к некоторым определенным точкам . Обе эти точки обладают тем свойством, что они получаются друг из друга при отражении а и при отражении Ближайшая задача заключается в том, чтобы определить эти взаимно соответствующие точки.

Рассмотрим для этой цели значения полюсных функций только вдоль оси х, соединяющей центры сфер. Функции с нечетным значком» полюсы которых лежат внутри сферы а, мы напишем в виде

Для того чтобы получить функцию вдоль всей оси х, необходимо взять абсолютное значение этого выражения. Чтобы определить отсюда надо написать, на основании формулы (2)

Отсюда на основании правила отражения имеем:

Напишем это выражение в виде

Величины можно рассматривать как однородные координаты нечетных полюсов, а величины как однородные координаты четных полюсов. Для них из (7) и (7) получаются рекуррентные формулы:

Если переставить обе сферы (отражение а вместо ), то мы получим из функции функцию точно таким же образом, как мы получили функцию из Коэффициенты соответствующих формул получаются из (8) перестановкой причем мы получим:

Вставляя (8) в (9), мы получим, наконец, рекуррентные формулы, связывающие координаты нечетных полюсов

Эти рекуррентные формулы не зависят от выбора нёрйого полюса, из которого ряд исходит, поэтому они определяют также координаты точек , соответствующих друг другу при отражении причем для этих точек получается выражение вида;

Для отношения а получается после исключения квадратное уравнение

и если вставить его корни в (11), то получатся координаты обеих искомых точек Вычисляя дискриминант уравнения:

легко убедиться в том, что оба корня вещественны и отличны друг от друга. Действительно, дискриминант положителен вследствие предположения Так как то можно вобрать Обозначим однородные координаты первой из этих двух точек получающиеся из (11), через

а координаты второй точки через

Общее решение рекуррентных формул получается из этих "частных" решений, если составить их линейную комбинацию с помощью двух постоянных

где и означают начальные значения.

При этом рекуррентные формулы (10), если принять в расчет (11), дают в случае

а в общем случае:

Для того чтобы найти решение, необходимо определить обе постоянные в (13). Для этого нужно принять во внимание, что полюсная функция, из которой мы исходили, это — функция определяемая уравнением (4), т. е. — вдоль оси Поэтому Если вставить эти числа в и использовать (12), (12), то решение оказывается:

и уравнения (14) принимают следующий явный вид:

Та часть искомой потенциальной функции [или ее значения вдоль оси , которая соответствует полюсам находящимся внутри сферы а, имеет вид

Из этой формулы ясна сходимость примененного метода. Действительно, в силу выбора члены с множителем о получают по мере увеличения показателя все большее значение по сравнению с членами, имеющими множитель и поэтому ряд сходится как геометрический.

Каждый отдельный член ряда (16) соответствует простой полюсной функции, которую мы получим, если вместо

напишем:

Соответствующий частичный заряд равен, следовательно,

Полный заряд сферы а (распределенный в действительности на ее поверхности) равен сумме этих фиктивных зарядов отдельных полюсов:

относительно сходимости которой можно сказать то же, что и прежде

Чтобы найти часть искомой функции которая соответствует полюсам, находящимся внутри сферы надо использовать рекуррентные формулы (8), которые, в силу (16), дают:

Следовательно, согласно (7),

Относительно сходимости этого ряда можно скалать то же самое, что и относительно ряда (16). Значение искомой функции вдоль оси х можно представить в виде причем от этой суммы простых полюсных функций можно без труда перейти опять к пространственной функции аналогично (17). Отсюда для полного заряда сферы получается выражение:

Повторение всего вычисления при измененных условиях:

дает, далее, вторую часть потенциальной функции, которая соответствует потенциалу сферы Из написанных выше формул легко перейти к предельному случаю, в котором обе сферы соприкасаются, и следовательно (при этом Однако, на этом мы не будем останавливаться.

3. Коэффициенты емкости.

Предыдущее вычисление давало в том частном случае, когда заряды обеих сфер в виде

Если принять в расчет только то получилось бы аналогично этому

в общем же случае, наложение обоих решений дает:

При этом всегда имеет место соотношение симметрии

что вытекает из вычисленной формы коэффициента Действительно, если явно ввести то это выражение оказывается симметричным относительно обеих этих величин.

Кроме того, множители также являются симметричными функциями от следовательно, согласно уравнению (11), — симметричными функциями от

Уравнения (20), поскольку они определяют заряды по заданным напряжениям представляют, собою уравнения емкостей, причем второй способ написания правой стороны этих уравнений показывает, что можно рассматривать как взаимную емкость, а как собственные емкости сферы а и сферы Все эти коэффициенты зависят от взаимного положения обеих сфер. Обратная задача определения потенциалов по заданным варядам решается, если уравнения (20) решить относительно потенциалов.