2. Отражение, эксцентрические круговые цилиндры.

Задачу о распределении заряда на двух эксцентрических круговых цилиндрах с заданной разностью потенциалов между ними можно решить аналогично задаче для двух сфер (§ 2), но гораздо проще, чем там. В основе этой задачи лежит "отражение в круге". Проще всего получить правило отражения, если аналогично пространственному случаю преобразовать уравнение к плоским полярным координатам:

Это уравнение не изменяется, если заменить на так как в него входит только под знаком причем к тому же это дифференцирование повторяется дважды.

Отсюда получается важное правило отражения: если есть потенциальная функция, то и

тоже есть потенциальная функция, и обе принимают вдоль окружности значения, равные и противоноложные по знаку. Мы назовем эти функции зеркальными изображениями друг друга в окружности

Выберем теперь, как и в аналогичной задаче § 2, потенциальную функцию , которая имеет в точке (см. выше рис. 69, причем нужно вставить вместо логарифмический полюс, соответствующий заряду Следовательно

Перейдем к отраженной функции:

Так как означает здесь расстояние точки наблюдения от изображения А точки А, то ясно, что действительно представляет собой потенциальную функцию. Если мы теперь выберем в качестве функции логарифмический потенциал, соответствующий двум параллельным проводникам (рис. 70), заряженным зарядами равной и противоположной по знаку плотности причем все величины в предыдущих соотношениях будем различать значками 1 и 2, то получим:

При этом, согласно (12), отраженная функция будет

Рис. 70.

Следовательно, отраженная функция имеет с точностью до аддитивной постоянной тот же вид, что и первоначальная функция ; ее полюсы представляют собой зеркальные изображения первоначальных полюсов.

Если, наконец, обе точки сами представляют собой зеркальные изображения друг друга по отношению к окружности, то совпадает с Следовательно, в этом случае

Следовательно, добавочный потенциал который вместе с дает вдоль окружности сумму совпадает о точностью до аддитивной постоянной с откуда видно, что потенциал имеет вдоль окружности постоянное значение, и, следовательно, его можно рассматривать как потенциальную функцию, соответствующую этой окружности. А именно, в этом случае мы имеем при

То обстоятельство, что действительно а именно в том случае, когда представляют собой зеркальные изображения друг друга по отношению к окружности, следует из теорем элементарной геометрии (круги Аполлония).

С помощью этих соображений легко определить потенциальную функцию, которая принимает постоянные значения вдоль двух эксцентрических окружностей, а вне обеих окружностей везде регулярна. Для этого нужно выбрать в качестве точек пару точек, определенную уже в § 3, 2 и обладающую тем свойством, что эти точки представляют собой зеркальные изображения друг друга в обеих окружностях. окружности имеют радиусы и расстояние их центров то расстояния этих точек от центра окружности а вычисляются из уравнений, выражающих свойство зеркального изображения в обеих окружностях:

причем получаются выражения:

Потенциальная функция

принимает, согласно (15), на окружности а постоянное значение

и, аналогично этому, на окружности постоянное значение

так что разность потенциалов обеих окружностей оказывается равной

откуда для взаимной емкости обоих круговых проводников получается выражение:

В практических приложениях с обычно велико по сравнению с . В этом случае можно придать выражению емкости другую форму. Уравнения (16) можно преобразовать следующим образом:

и отсюда

Если с значительно превосходит то приближается к нулю, к значению с, и тогда из (19) получается приближенное выражение:

которое обычно кладется в основу технических расчетов.

При выводе этого приближенного выражения исходят обычно из упрощенного представления, что заряды распределены равномерно по поверхности цилиндров, что, конечно, справедливо лишь с точностью до величин порядка или Потенциальное поле первого проводника при этом можно выразить формулой:

а поле второго — формулой:

( означают расстояния от соответствующих центров, а постоянную), и оба потенциальных поля налагаются друг на друга. На поверхности первого проводника нужно положить с погрешностью а на поверхности второго проводника с погрешностью Следовательно, разность потенциалов

что совпадает с (17).

Это приближение обладает тем преимуществом, что его можно распространить на случай, когда число проводников болыце двух, тогда как точный способ к такому случаю не применим. Пусть 1, 2, 3 такие проводники (рис. 71), их заряды, их радиусы и их расстояния друг от друга. Потенциалы проводников можно написать в виде:

Рис. 71.

Эти уравнения называются емкостными уравнениями Максвелла. Для чтобы иметь возможность производить вычисления с определенными значениям потенциалов, необходимо предположить, как и выше в (8), что между зарядамж существует соотношение:

В этом случае можно вычитать почленно любые два из уравнений (20) в исключать таким образом произвольную постоянную Например,

при этом получается, если учесть также (20), правильное число уравнений с неизвестными которые можно, таким образом, выразить через разности потенциалов между проводниками.