7. Решение задачи Коши для упругого полупространства.

Задача Боши для упругого полупространства представляет собой задачу об интегрировании уравнений упругости (18) для полупространства при начальных условиях:

и при граничных условиях:

Для решения этой задачи воспользуемся опять методом Вольтерра, примененным уже при решении двухмерной задачи.

Рассмотрим гиперобъем состоящий из тех точек пространства которых и решение отлично от нуля. Вырежем из того объема малым гиперцилиздром

особую линию и обозначим оставшуюся часть через Границами объема будут, очевидно, некоторая поверхность характеристик (конус), на которой и вне которой уничтожается, часть поверхности гилерцилиндра (22), часть плоскости и часть плоскости .

Применяя в объеме формулу Грина к искомому решению и первому фундаментальному решению мы получим:

где через обозначен элемент поверхности в четырехмерном пространстве элемент объема того же пространства. Через для краткости, обозначено выражение:

а через выражение:

Нетрудно видеть, что на поверхности выражение уничтожается на основании тех же соображений, которыми мы неоднократно пользовались при решении двухмерной задачи и задачи Коши для волнового уравнения.

На поверхностях представляет собой известную величину. Действительно, на поверхности очевидно,

Так как значения на этой поверхности даны формулами (20), то наше утверждение для этой поверхности очевидно. На поверхности мы будем нметь:

и

Кроме того, по условию на этой поверхности уничтожаются

Так как известны из формул (21), то и для этой поверхности наше утверждение справедливо. Займемся вычислением интеграла на поверхности Очевидно, на этой поверности мы будем иметь:

При вычислении интеграла по этой поверхности достаточно принять во внимание слагаемое входящее в состав первого фундаментального решения, так как мы дальше будем переходить к пределу, устремляя радиус гиперцилиндра к нулю. При атом все члены, зависящие от остальных слагаемых, уничтожаются. На поверхности мы будем иметь:

Элементарный подсчет дает далее для точек этой поверхности:

Подставляя эти выражения в интеграл, мы получим после элементарных выкладок, аналогичных тем, которые мы неоднократно производили:

Здесь, очевидно, вместо х, у, z в правой части подставлены

Пользуясь этим результатом и перенося в формуле (23) выражение, зависящее от неизвестных в одну часть, а все остальное в другую, получим:

где через обозначена известная величина, определяемая по формуле:

Если мы повторим те же рассуждения для остальных фундаментальных решений, то можно будет получить для них формулы:

Здесь через ) обозначено выражение:

где

Объема получается из объема состоящего из точек, для которых отличны от нуля и вырезанием малого гиперцилиндра радиуса

— та часть гиперплоскости которая является границей объема та часть плоскости которая также является границей этой области.

Так же как и величины выражены через известные, совершенно аналогично тому, как это было сделано нами в двухмерной задаче.

Дифференцируя формулы (29) и (31) сначала по а затем по координатам, пользуясь уравнениями теории упругости и затем интегрируя по частям, получим окончательный ответ в виде: