§ 3. Дифференциальные уравнения траекторий
1. Траектории материальной точки в плоскости.
Если мы представим движение материальной точки массы 
в прямоугольных координатах х, у на плоскости, то уравнения движения Ньютона получат вид:
где 
являются заданными функциями от х, у и представляют прямоугольные составляющие силы, действующей на 
Если, как в § 2 (33), мы введем параметр 
, изменяющийся вдоль траектории, то 
и аналогично для у. Для живой силы К мы при этом получим:
Если помножить уравнения (1) на 
и вычесть, причем х и у заменить их значениями, то мы получим, выражая 
через К:
Если же первое из уравнений (1) помножить на х, а второе на у и сложить, то получим
Если положить:
то, на основании известной формулы дифференциальной геометрии, 
будет представлять обратное значение радиуса кривизны 
траектории, а 
составляющую силы, перпендикулярную к касательной к траектории. В таком случае уравнение (2) можно написать в более простой форме:
Если мы представим скорость 
в виде 
касательную составляющую 
силы определим формулой 
выразим с помощью соотношения 
и вставим в выражения (3) и 
то мы получим обычный вид уравнений движения с "естественным" разложением на касательную и нормальную составляющие: 
Если к (2) [или (5)] и (3) присоединить еще дифференциальное уравнение, определяющее параметр и, например, 
(причем и в этом случае означало бы длину дуги траектории), то мы получим три совокупные дифференциальные уравнения для трех функций х, у, К параметра и. При этом х, у определяют геометрическую форму траектории, а 
- зависимость движения от времени.
Высшие производные, входящие в уравнения, будут 
если мы решим уравнения относительно них, то мы увидим, что при заданном значении и значения х, у, К, иначе говоря, направление траектории и живая сила могут быть заданы произвольно. Если исключить К из (3) и (5), то мы получим дифференциальные уравнения, в которые входят только х, у и их производные по 
Вместе с уравнением для параметра, мы имеем теперь систему двух уравнений относительно 
как функций от и. Из (4) следует, что в (6) входят производные от х и у до третьего порядка. Из (5) следует, что при увеличении К траектории приближаются все больше к прямым 
а при уменьшении 
силовым линиям 
