3. Прямоугольник. Метод разложения в ряды.

На примере прямоугольного поперечного сечения мы поясним метод разложения в ряд для разрешения нашей задачи теории потенциала.

Пусть наше прямоугольное поперечное сечение лежит в плоскости так, что начало координат совпадает с центром прямоугольника. Большая сторона параллельна оси у, а меньшая параллельна оси х. Будем искать потенциальную функцию которая на границе принимает значения

т. е.

Мы можем упростить нашу - граничную задачу, рассматривая вместо ее вторую проийводную

Обе вторые производные по равны друг другу по величине, но имеют обратный знак, так как удовлетворяет дифференциальному уравнению Для получаются граничные условия:

где есть также потенциальная функция. Решение мы будем искать в виде ряда каждый член которого удовлетворяет дифференциальному уравнению Тогда должно быть:

или

Значение обеих дробей должно быть равно некоторой постоянной, так как не может зависеть от у, а — не может зависеть от х.

Выбирая получаем:

При получается:

Мы получаем, следовательно, решения потенциального уравнения, если умножим гиперболический синус или косинус от на обычный синус или косинус с таким же аргументом от у (или x). Так как из граничных условий видно, что есть четная функция от то решениями могут быть только косинусы. Если мы еще требуем, чтобы частное решение удовлетворяло условию при то остаются только члены вида для которых должно быть Мы положим, следовательно:

Остается теперь удовлетворить условию при из которого мы и определим коэффициенты При мы имеем

Метод определения коэффициентов с, известен из теории рядов Фурье. Если умножить (31) справа и слева на и проинтегрировать от до то справа остается только один член, для которого откуда следует:

или, после вычисления:

Интегрируя по получаем из формул

выражения:

Постоянные интегрирования обращаются в нуль, так как напряжения:

в центре равны нулю вследствие симметрии сечения. Напряжения в остальных точках даются формулами:

Наибольшее напряжение получается в середине большой стороны, так как член преобладает над рядок. Оно равно :

Так как по нашему предположению больше а, то этот ряд сходится чрезвычайно быстро. Практически достаточно ограничиться первый членом так как даже в самом неблагоприятном случае значение этого первого члена а значение остальных членов:

Следовательно, ряд равен своему первому члену с точностью до 0,5%. Отсюда с достаточной точностью:

Крутящий момент

вычисляется простым интегрированием и равен

Но, как известно:

и, следовательно:

Здесь также можно ограничиться первым членом бесконечного ряда, как в самом неблагоприятном случае первый член:

а весь остаток

Следовательно, первый член суммы равен всей сумме с точностью до и с практически достаточной точностью:

Выпишем в заключение выражение для смещения: