§ 5. Малые колебания и устойчивость
1. Общие критерии.
Если мы рассмотрим "постоянное" движение, такое, что соседний ему движения представляются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами § 3, (4), то об устойчивости основного движения 
можно судить но корням 
характеристического уравнения 
§ 3, (9). Характер возмущенного движения зависит от начальных условий лишь постольку, поскольку от начальных значений возмущения, т. е. от значений величин 
в момент 
зависит, какие из постоянных 
в решениях § 3, (14), отличны от нуля, и потому какие из затуханий 
и частот 
действительно входят в решение. Если все входящие 
отрицательны, то согласно § 3, (14), все 
с возрастанием 
стремятся к нулю; то же имеет место, если даже соответствующее 
является кратным корнем и приводит к решению вида § 3, (16). Следовательно, основное движение устойчиво относительно всех возмущений, которые приводят к появлению в решениях корней уравнения 
с отрицательной вещественной частью. Оно вообще устойчиво, если все корни 
имеют отрицательную вещественную часть. Это условие достаточно, но не необходимо; действительно, при исчезающей вещественной части 
решения § 3, (14) становятся чисто тригонометрическими функциями времени, и уменьшением возмущения можно произвольно уменьшить коэффициенты 
благодаря чему сами 
также могут на все время сделаться меньше любой заданной величины. Однако, это уже не имеет места, если решения имеют вид § 3, (16), так как при 
выражения вида 
увеличиваются до бесконечности при возрастании 
Сопоставляя сказанное, мы можем формулировать следующие необходимые и достаточные условия устойчивости основного движения.
Корни уравнения 
§ 3, (9) не должны иметь положительной вещественной части. Если вещественная часть равна нулю, то соответствующие корни 
должны быть или простыми корнями, или такими 
-кратными корнями, для которых определитель 
имеет как раз ранг 
та.
Частичная устойчивость для определенных возмущений наступает тогда, когда 
входящие в решение, выполняют указанные условия.
Важнейшим случаем устойчивости является тот, в котором 
есть уравнение Гурвица.
